Si une suite (un) est croissante et admet une limite "l" alors elle est majorée et "l" est un majorant. Par ailleurs son premier terme est celui qui la plus petite valeur donc cette suite est aussi minorée et le premier terme est un minorant: Une suite croissante qui converge est une suite bornée.
Une suite (un) est minorée s'il existe un nombre m tel que, pour tout entier naturel n, u n ≥ m u_n \geq m un≥m. m est appelé le minorant de (un).
DEFINITION: Soit E un ensemble non vide, ordonné. E est dit minoré, s'il existe un élément m tel que tout élément x de E soit supérieur ou égal à m. E est dit majoré s'il existe un élément M tel que tout élément x de E soit inférieur ou égal à M.
Montrer que la suite est minorée
Si le minorant m n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture. Une suite positive est forcément minorée par 0. Soit la suite \left(u_n\right) définie par, \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = \dfrac{1}{n}. Ainsi, \left(u_n\right) est minorée par 0.
Proposition Si M est un majorant de f et N un majorant de g, alors M + N est un majorant de f + g. Si M est un majorant de f et N un majorant de g, avec f et g positives, alors MN est un majorant de fg. . Si M est un majorant de f , alors −M est un minorant de −f .
1. Diminuer l'importance de quelque chose, lui accorder une valeur moindre : Minorer un incident diplomatique. 2. Porter quelque chose à un chiffre inférieur : Minorer les prix de 10 %.
▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante. b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport un+1 un à 1. ▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante.
Si une suite est croissante et converge vers L L L, alors elle est majorée par L L L. Si une suite est décroissante et converge vers L L L, alors elle est minorée par L L L.
f est majorée sur I , s'il existe un réel M tel que pour tout x de I , f ( x ) ≤ M . On dit que M est un majorant de f . f est minorée sur I , s' il existe un réel m tel que pour tout x de I , f ( x ) ≥ m . On dit que m est un minorant de f .
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
b. Soit B = { x ∈ R , x = l n ( 1 + n ) , n ∈ N } ; -10, 0 sont des minorants de ; est une partie minorée de mais n'est pas majorée (il existe des éléments de arbitrairement grands). On remarque que 0 est un minorant de qui appartient à .
Lorsque l'ensemble ordonné est celui des réels, l'existence d'une borne supérieure est assurée pour toute partie non vide et majorée : on dit que ℝ possède la propriété de la borne supérieure. Cette même propriété assure aussi l'existence d'une borne inférieure pour tout ensemble non vide et minoré de réels.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
Les suites 'monotones' sont les suites croissantes ou décroissantes. Les suites 'strictement monotones' sont les suites strictement croissantes ou strictement décroissantes. Une suite est dite 'stationnaire' ou 'constante' si tous ses termes sont égaux.
On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u. On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
De manière directe, si K est donné, on a W(n+1)>K, dès que racine(n)>K , soit n>K^2. On en déduit même que la suite tend vers +00, alors que par l'absurde, vous montrez seulement qu'elle n'est pas bornée.
1) Calculer un+1−un. 2) Trouver le signe de un+1−un. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩾0 alors la suite (un) est croissante. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩽0 alors la suite (un) est décroissante.
(a) Fonctions croissantes/décroissantes
On dit que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [a,b] si la courbe représentant la fonction monte sur cet intervalle; elle est strictement décroissante sur l'intervalle [a,b] si la courbe descend sur cet intervalle.
Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n. On parle aussi de suites constantes `a partir d'un certain rang.
Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante : elle vérifie pour tout n. Si la suite est définie à partir d'un certain rang p , on dira qu'elle est croissante (respectivement décroissante) lorsque (respectivement ) .
Démontrer que la suite (un) est croissante à partir d'un certain rang. n+1 − u n ≥ 0 pour 2n − 3≥ 0 donc pour n ≥1,5. n+1 − u n ≥ 0 . On en déduit qu'à partir du rang 2, la suite (un) est croissante.