Théorèmes de convergence monotone : * Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge.
Cherchons à partir de quel rang tous les termes de la suite appartiennent à I. En effet, un ∈ I ⟺ 2 – a < un < 2 + a. On procède par équivalences : Donc, à partir du rang n (qui est supérieur à n), tous les termes de la suite appartiennent à I, donc la suite converge vers 2.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Si la suite est croissante et majorée, elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Définition 1.1.2
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
(Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
Étudier la monotonie d'une suite, c'est dire si la suite est croissante, décroissante, ou ni l'un ni l'autre. La suite (un) définie par avec u0 = 1 est une suite arithmétique de raison r = –3 donc décroissante sur . Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 positif de raison q. (un) est décroissante lorsque .
Une suite est convergente si et seulement si les suites ( u 2 n ) et ( u 2 n + 1 ) sont convergentes et ont même limite.
Si la lentille est convergente, l'image est grossie (grossissement>1), et lorsqu'on déplace la lentille dans un sens, l'image défile dans l'autre sens. Si la lentille est divergente, l'image est rétrécie (grossissement<1), et défile dans le même sens que le déplacement de la lentille.
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L, alors elle est majorée par L. Si une suite est décroissante et converge vers L, alors elle est minorée par L.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Soit (un)n une suite de nombres réels. On dit que (un)n est stationnaire si et seulement si ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, un = uN . Autrement dit, (un)n est constante `a partir d'un certain rang.
un = 0. Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement.
On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire : si | u p − l | et | u n − l | sont petits il en est de même pour | u p − u n | .
1. Uniformité de ton, d'intonation, d'inflexion : Monotonie de la voix. 2. Manque lassant de variété, de diversité : La monotonie d'un paysage.
Une fonction est monotone lorsqu'elle est croissante sur I ou lorsqu'elle est décroissante sur I . Étudier le sens de variation d'une fonction, c'est découper son ensemble de définition en intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.
La remarque de Fred te permet alors de savoir si elle est croissante ou non pour n assez grand. La suite est monotone à partir d un certain rang p lorsque le quotient up+1up u p + 1 u p dépasse une certaine valeur.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Calculer un+1−un. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩾0 alors la suite (un) est croissante. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩽0 alors la suite (un) est décroissante.
Soient I un intervalle de R, et f : I −→ R une fonction continue. Supposons que l'intervalle I est stable par f. Notons (un) la suite définie par la donnée de u0 ∈ I et la relation de récurrence un+1 = f(un). Si la fonction f est strictement croissante sur I, alors la suite (un) est monotone.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
Définition : Suites stationnaires
Une suite réelle est stationnaire s'il existe un réel et un entier tels que, pour tout entier n ≥ n 0 , on ait u n = a .