une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u. On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
un = 0. Si q = −1, la suite oscille entre deux valeurs distinctes et n'a pas de limite. Si q < −1, |un| diverge vers +∞ (puisque c'est une suite géométrique de premier terme positif et de raison plus grande que 1), donc (un) n'est pas bornée et ne peut converger.
Définitions : On dit qu'une suite ( )un est divergente lorsque qu'elle ne converge pas. Une suite divergente est donc une suite qui n'admet par de limite ou qui admet +õ ou –õ comme limite.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Oui, une suite constante est convergente.
Théorème : ∑un et ∑un convergent et ont pour somme s et s ⇒ ∑(un +un) converge et a pour somme (s +s ). Démonstration : On applique simplement le théorème équivalent sur les suites, appliqué bien sûr aux suites des sommes partielles. Théorème : ∑un converge et est de somme s,λ ∈ K ⇒∑(λun) converge et est de somme λs.
On récite le cours : une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. On en conclut donc que la suite est bornée. \left(u_n\right) est à la fois majorée par 1 et minorée par 0. Elle est donc bornée.
Soit f : I → R une fonction continue. Alors – f est bornée : il existe M ≥ 0 tel que pour tout x ∈ I, |f(x)| ≤ M ; – f atteint ses bornes : il existe c1, c2 ∈ I tel que f(c1) = min{f(x) | x ∈ I}, f(c2) = max{f(x) | x ∈ I}.
Suite convergente
On dit qu'une suite réelle admet pour limite un réel ℓ si : tout intervalle ouvert qui contient ℓ contient aussi tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux ( c. -à-d. contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang).
Énoncé Théorème des suites adjacentes — Soient (an) et (bn) deux suites adjacentes. Alors ces deux suites sont convergentes et ont la même limite ℓ ∈ ℝ. De plus, pour tout entier naturel n, an ≤ ℓ ≤ bn (où (an) est croissante et (bn) décroissante).
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
En pratique, pour démontrer qu'une suite converge vers une limite "l" on choisit le plus souvent un intervalle centré sur "l", de la forme ] l - a ; l + a [ (où "a" est un réel positif) puis l'on motre que quel que soit la valeur de il existe un rang "n" à partir du quel l-a <un < l+a.
Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : un+1 ≥ un ou: Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal à son précédent : un+1 ≤ un ou: Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.
Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n. On parle aussi de suites constantes `a partir d'un certain rang.
En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0.
Deux suites u et v sont dites adjacentes si elles sont monotones de sens contraires et si leur différence tend vers 0. Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Soit u et v deux suites réelles telles que u soit croissante, v soit décroissante et lim n →+∞ ( v n − u n ) = 0.
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1. n diverge. Si la série ∑ un converge, alors le terme général un tend vers 0 quand n tend vers + & . Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend vers 0 et qui sont divergentes (voir ∑ 1 n ci-dessous).
Série géométrique. La somme partielle est définie par S n ( x ) = 1 − x n + 1 1 − x pour tout x ≠ 1 et S n ( 1 ) = n + 1 . La série numérique ( ∑ x n ) converge si et seulement si , donc pour x ∈ ] − 1 , 1 [ . La fonction reste d'ordre n est ici explicitable : R n ( x ) = x n + 1 1 − x .
La série harmonique diverge
En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la suite de nombres obtenus est croissante, mais à croissance lente : on pourrait croire qu'il s'agit d'une série convergente. En fait, la série harmonique diverge, ses sommes partielles tendent vers +∞.
Convergence désigne l'action de converger, c'est-à-dire de tendre vers le même point ou le même but, le même objectif, etc. Exemple : La convergence se fera au niveau de la Place de la République. Convergence désigne l'inverse de la distance focale d'une lentille. Exemple : Convergence d'une lentille.