Méthode n°8 : Si A est une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls, alors A est inversible.
Proposition : Une matrice diagonale est inversible si et seulement si tous les éléments de sa diagonale principale sont non nuls . Une matrice diagonale est triangulaire et une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous les éléments de sa diagonale principale sont non nuls.
L' inverse d'une matrice diagonale est déterminé en prenant le réciproque de chacun de ses éléments diagonaux.
La raison en est que les matrices non inversibles sont les racines (ou zéros) d'une fonction polynomiale donnée par le déterminant.
Propriété : Commutativité des matrices diagonales
Si 𝐴 et 𝐵 sont deux matrices diagonales de dimension 𝑛 × 𝑛 , alors le produit de ces deux matrices est commutatif. En d'autres termes, 𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐴 . Ainsi, 𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐴 pour tout couple de matrices diagonales 2 × 2 .
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments, à l'exception de ceux de la diagonale principale, sont nuls . Elle est à la fois triangulaire supérieure et inférieure, puisque tous ses éléments, sauf ceux de la diagonale principale, sont nuls. Cette structure simplifie de nombreuses opérations telles que la multiplication et l'élévation de matrices à des puissances.
Méthode n°7 : Soit A une matrice carrée telle que : A = : A est inversible si et seulement si ad-bc ≠ 0. Méthode n°8 : Si A est une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls, alors A est inversible.
Si une matrice n × n a une ligne de zéros, ou une colonne de zéros , alors elle n'est pas inversible.
caractérisation d'une matrice inversible
Soit une matrice de M n ( K ) . Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .
Les matrices non carrées , c'est-à-dire les matrices m par n pour lesquelles m ≠ n, n'ont pas d'inverse.
Si les éléments de la diagonale principale de D sont l'inverse des éléments correspondants de la diagonale principale de D, alors D est une matrice diagonale. Si la transposée d'une matrice est égale à elle-même, cette matrice est dite symétrique. Par conséquent, l'inverse d'une matrice diagonale est une matrice symétrique et diagonale .
On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les termes situés hors de la diagonale principale sont tous nuls. Plus formellement, une matrice carrée d'ordre de terme général a i , j est diagonale si pour tout entier , avec 1 ≤ i ≤ n , et tout entier tel que , i ≠ j , a i , j = 0 .
Principales propriétés calculatoires de l'inversion de matrices. Si M est inversible, alors M−1 aussi et (M−1)−1 = M. Si M,N ∈ Mn(R)2 sont deux matrices inversibles, le produit MN est inversible et (MN)−1 = N−1M−1. Si M est une matrice inversible, Mk est inversible pour tout entier k ∈ N, et (Mk)−1 = (M−1)k.
La diagonalisabilité est différente de l'inversibilité : ce sont deux propriétés totalement indépendantes. Une matrice peut être diagonalisable mais singulière (avoir zéro comme valeur propre). Si zéro est une valeur propre, la matrice n'est pas inversible mais peut néanmoins être diagonalisable .
On démontre par un exemple que l'inverse d'une matrice diagonale est également une matrice diagonale. L'inverse d'une matrice diagonale non singulière est une matrice diagonale non singulière dont tous les éléments diagonaux sont inversés . Par conséquent, la matrice inversible résultante est une matrice diagonale.
Toutes les matrices diagonales réelles dont les éléments diagonaux sont positifs sont définies positives . Les matrices définies positives servent à définir les produits scalaires. Une matrice hermitienne A de dimension n × n est dite définie positive si son vecteur conjugué transposé est réel et positif pour tout vecteur complexe non nul v.
Comment déterminer si une matrice 2x2 est inversible ? Une matrice 2x2 est inversible si et seulement si son déterminant est non nul . Pour calculer le déterminant d'une matrice 2x2 A = ((a, b), (c, d)), utilisez la formule : det(A) = ad - bc. Si le résultat est non nul, la matrice est inversible.
Si zero est une valeur propre, la matrice n'est pas inversible mais peut tout de même être diagonalisable. De même, une matrice peut être inversible mais non diagonalisable : Une matrice sans valeurs propres nulles (et donc inversible) peut néanmoins ne pas disposer d'un nombre suffisant de vecteurs propres.
La matrice A est inversible car triangulaire avec tous ses coefficients diagonaux non nuls. La matrice B n'est pas inversible car son deuxième coefficient diagonal est nul. AB = AC =⇒ B =C et B A =C A =⇒ B =C.
On dit d'une telle matrice qu'elle est non inversible. Par exemple, A=[1000] A = [ 1 0 0 0 ] est non inversible puisque BA=[a0c0] B A = [ a 0 c 0 ] pour chaque B=[abcd], B = [ a b c d ] , d'où BA≠[1001] B A ≠ [ 1 0 0 1 ] peu importe les valeurs de a,b,c a , b , c et d .
Définition Une matrice est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. En particulier, toute matrice diagonale est diagonalisable.
Le produit d'une matrice A par une matrice B est possible si et seulement si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B .