Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente ! Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .
On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si la suite u est décroissante et minorée, alors elle converge. Si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L, alors elle est majorée par L. Si une suite est décroissante et converge vers L, alors elle est minorée par L.
une suite constante est a la fois croissante et decroissante. Or toute suite croissante est minorée par son 1er terme , et toute suite decroissante et majorée par son 1er terme. d'ou Un bornée.
On traduit ce théorème en disant que est un corps complet ce qui signifie que toute suite de Cauchy d'éléments de est convergente dans ; est le complété de c'est à dire le plus petit corps complet contenant .
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
Toute suite de Cauchy est bornée. Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence et si elle en a une, alors elle converge.
Démonstration. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy et soit N ∈ N tel que |un − uN | < 1 pour tout n ≥ N. Ainsi, pour tout n ≥ N on a |un| < 1 + |uN |. On en déduit que la suite (un)n∈N est bornée par max{|u0|,|u1|,...,|uN−1|,|uN | + 1}.
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire : si | u p − l | et | u n − l | sont petits il en est de même pour | u p − u n | .
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Remarque: Une suite (un)n∈N est bornée si et seulement si la suite (|un|)n∈N est majorée. Limites des suites. −→ n→+∞l. Si la suite a une limite l dans R, on dit qu'elle est convergente.
Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée. Par exemple, la suite u n = 1 n u_n= \dfrac {1}{n} un=n1 est bornée car, pour tout entier naturel non nul n, 0 < 1 n ≤ 1 0 < \dfrac {1}{n} \leq1 0<n1≤1.
la suite (un) telle que un = n pour tout n; • la suite (un) telle que un = 2n pour tout n. lLa suite (un) telle que un = αn pour tout n, o`u α est un réel donné. Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n.
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Définition : Si est une suite convergente, l'unique réel , tel que converge vers , s'appelle la limite de la suite et se note lim n → + ∞ u n . On notera désormais l = lim n → + ∞ u n et on dira que la suite est convergente et a pour limite , plutôt que la suite converge vers .
On remarque, ici encore, que la différence entre deux termes consécutifs S n + 1 − S n = 1 n + 1 tend, elle, vers 0, alors que la suite n'est pas de Cauchy.
Un espace vectoriel normé E est complet si et seulement si toute série absolument convergente d'éléments de E est convergente : c'est la caractérisation des espaces de Banach par les séries.
▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante. b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport un+1 un à 1. ▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 un ⩽ 1, alors la suite (un) est décroissante.
Dans un espace uniforme, une suite (xn) est dite de Cauchy lorsque pour tout écart continu d sur X, il existe un entier naturel N tel que pour tout p,q > N, on a : d(xp,xq) < 1.
On dit qu'une suite (un) d'un espace métrique (X,d) est une suite de Cauchy lorsque ∀ε>0, ∃N∈N, ∀p,q≥N, d(up,uq)<ε ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , ∀ p , q ≥ N , d ( u p , u q ) < ε (si on se place dans un espace vectoriel normé (E,N) , on remplace d(up,uq) d ( u p , u q ) par N(up−uq) N ( u p − u q ) ).
Par exemple, la suite un = (−1)n diverge : la suite des termes pairs converge vers 1, la suite des termes impairs converge vers −1. Remarquons aussi que la modification d'un nombre fini de termes n'a aucune incidence sur la convergence d'une suite.
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.