La fonction cube est strictement croissante sur l'intervalle . La fonction cube est une fonction impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
La fonction cube n'admet pas d'extremum sur R, c'est-à-dire qu'elle n'admet pas de valeur maximale ou minimale. La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout x réel on a : f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x).
Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur ℝ. En effet, la fonction cube étant croissante, l'ordre est conservé.
Pour déterminer les variations de la fonction cube, on considère deux nombres réels a et b tels que 0 a < b ; alors a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; le signe de a – b est strictement négatif puisque si a < b alors a – b < 0, et le signe de a2 + ab + b2 est strictement positif puisque 0 a < b.
On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x < y, on a aussi f (x) < f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x < y ⇒ f (x) < f (y). La fonction cube x ↦→ x3 est strictement croissante, bien que sa dérivée s'annule (en zéro).
Si [a, b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est croissante dans l'intervalle [a, b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a, b], si x1 < x2, alors f(x1) ≤ f(x2).
La fonction linéaire ou affine est croissante si son coefficient directeur est positif, décroissante s'il est négatif et constante s'il est nul (la fonction est alors égale à un nombre et son expression ne comprend pas de x .
Pour tout x∈R, (−x)3=(−x)×(−x)×(−x)=−x×x×x=−x3 donc l'image de −x est l'opposée de l'image de x : la fonction cube est impaire.
Parité La fonction cube est impaire. La représentation graphique de la fonction cube admet l'origine du repère pour centre de symétrie.
La fonction cube est une fonction impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Comme la fonction cube est strictement croissante sur , si et sont deux réels positif, négatifs ou nuls, alors équivaut à (l'inégalité ne change pas de sens).
La courbe en cloche ou courbe de Gauss est l'une des courbes mathématiques les plus célèbres. On la voit apparaître dans un grand nombre de situations concrètes — en statistiques et en probabilités — et on lui fait souvent dire tout et n'importe quoi.
La fonction cube est définie sur l'ensemble des réels par f(x)=x3. f ( x ) = x 3 . C'est donc une fonction de puissance entière. Comme cette puissance est impaire, le signe de x et de son image par f sont les mêmes.
Courbe représentative de la fonction racine carrée. est appelé le radical.
L'unique antécédent de par la fonction cube est noté √ . Attention ! Ce nombre est du même signe que . Exemples : comme 3 27, on peut affirmer que 27 admet 3 comme antécédent par .
La fonction inverse est impaire puisque quel que soit x non nul, f(−x) est égal à −f(x). − f ( x ) . Par exemple, si x est égal à 2, f(−2) est égal à 1−2 et −f(2) est égal à −12.
Pour étudier la parité d'une fonction g : on vérifie que son ensemble de définition est centré en 0 ; on cherche à exprimer g(−x) en fonction de g(x), pour savoir si g est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
Parité La fonction racine carrée n'est ni paire, ni impaire.
Le cube de 5 est 125, soit : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
Les cubes de 4 et de -4 sont respectivement égaux à 64 et -64. Le cube d'un nombre réel positif (resp. négatif) est un nombre positif (resp. négatif) et, comme les nombres entiers ou rationnels sont aussi des nombres réels, cette propriété est encore vérifiée.
Fonction mathématique, f définie sur un intervalle I est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b appartenant à I tels que a < b, on a f(a) > f(b).
L'image de 3 par la fonction f est 0.
Soit f la fonction affine définie sur ℝ par f(x) = mx + p, où m et p sont deux réels fixés. Si m > 0, alors la fonction f est strictement croissante sur ℝ.