La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F′(x) = f(x).
Cette formule de l'intégration par parties peut se retrouver facilement à partir de la dérivée du produit de deux fonctions : (uv)' = u'v + v'u.
L'intégrale indéfinie de 𝑓 ( 𝑥 ) par rapport à 𝑥 peut s'écrire sous la forme d'une primitive 𝐹 ( 𝑥 ) comme suit : 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 = 𝐹 ( 𝑥 ) + , d C où C est aussi appelée la constante d'intégration.
On peut calculer des intégrales de produits de fonctions en utilisant la formule d'intégration par parties : 𝑢 𝑣 𝑥 𝑥 = 𝑢 𝑣 − 𝑣 𝑢 𝑥 𝑥 , d d d d d d où 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables.
Comment justifier l'existence d'une intégrale ? L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
f(t)dt. Lorsqu'on trouve une primitive d'une fonction f dans une table, ou qu'elle se déduit des tables à partir de quelques calculs algébriques, il n'y a rien d'autre à faire : L'intégrale est donnée par la Formule de Newton-Leibniz. (e2x + sin(x))dx.
Considérons la fonction f définie sur R par f(x)=3x2. La fonction F définie sur R par F(x) = x3 est une primitive de f sur R puisque F′(x) = f(x). La fonction G définie sur R par G(x) = x3 + 2 est aussi une primitive de f sur R puisque G′(x) = f(x). √x2 + 3 = f(x).
Intégrale d'une fonction positive :
L'intégrale de a à b de f est égale à l'aire (en unité d'aire) du domaine D délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation x = a x=a x=a et x = b x=b x=b.
La notion d'intégration désigne en effet la manière dont les individus s'incorporent à la société globale via l'activité professionnelle, l'apprentissage des normes de consommation matérielle, l'adoption des comportements familiaux et culturels, les échanges avec les autres, la participation aux institutions communes.
L'intégration est le processus débouchant sur le partage de valeurs communes, de buts communs, entre des individus en interaction au sein d'une société ou d'un groupe social favorisant ainsi la cohésion sociale.
On appelle fonction logarithme népérien, noté ln (ou ), la primitive définie sur ,de la fonction x ↦ 1 x s'annulant pour . Pour : ln x > 0 est l'aire limitée par la courbe représentative y = 1 / t , l'axe et les droites d'équations et .
Une primitive pour Arctangente.
Les deux fonctions u et v d' une intégration par parties sont alors définies par : u(x) = arctan(x). u est dérivable sur ]- ; + [ et u'(x) = . v'(x) = 1.
L'intégrale définie d'une constante est proportionnelle à la longueur de l'intervalle d'intégration : 𝑐 𝑥 = 𝑐 ( 𝑏 − 𝑎 ) . d. En permutant les bornes de l'intégrale, on obtient 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 = − 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 .
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on décompose celle-ci en une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction inverse. Exemple : Soit f\left ( x \right )=\frac{x^{2}+2}{x-3} définie sur ]3\, ;+\infty[. Elle peut s'écrire sous la forme : f\left ( x \right )=ax+b+\frac{c}{x-3}.
En mathématiques, l'intégration par parties (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une primitive) d'un produit de fonctions.
L'intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d'aire, la différence entre : les aires situées au dessus de (Ox) et les aires situées en dessous de (Ox).
Pour conceptualiser l'intégrale, il faut imaginer que tu resserres de plus en plus l'espace vide qui subsiste entre ces points (en en rajoutant plein), jusqu'à ce que tu passes d'un point à un autre sans voir la différence. L'intégrale est en fait une somme qui se calcule généralement sur un ensemble infini.
La surface comprise entre la courbe d'équation y = exp(−x2) et l'axe des abscisses vaut √π. où α est un paramètre réel strictement positif. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale.
On peut calculer l'intégrale d'une fraction rationnelle irréductible \(f(x) = P(x) / Q(x)\) sur tout intervalle fermé \([ a, b]\) à condition que \(\forall x_0 \in [ a, b] \Leftrightarrow Q(x_0) \neq 0. \) Les méthodes d'intégration sont semblables à celles de la recherche des primitives.
Le premier moment de l'histoire des mathématiques s'identifie néanmoins aux Grecs, qui, à partir du VIe siècle avant J. -C., vont faire de cette discipline plus qu'un outil, un idéal de pensée. C'est généralement à Thalès de Milet que l'on accorde la paternité de la géométrie, et le début des mathématiques grecques.
Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc I_{n+1}-I_{n} est positif. Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc I_{n+1}-I_{n} est négatif.