Il suffit de remplacer x par -1 dans P et si on trouve 0 c'est que -1 est racine de ce polynôme. Donc, -1 est racine de P. Déterminer une fonction polynôme Q du troisième degré telle que : P(x) = (x + 1)Q(x).
Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme : Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée Δ qu'on appelle le discriminant. Δ = b² - 4ac.
Equation du 4è degré selon Ferrari. avec A = -3b2/8a2 + c/a , B = (b/2)3/a3 - ½bc/a2 + d/a , C = -3(b/4a)4 + c(b/4)2/a3 - ¼bd/a2 + e/a. Si B = 0, on se ramène au second degré en posant X2 = Y : l'équation prend la forme Y2 + AY + C = 0.
Il suffit pour cela de diviser les deux membres de l'équation algébrique par le coefficient du monôme de plus haut degré (le coefficient a). Exemple : Trouver les solutions d'une équation algébrique revient donc à déterminer les racines d'un polynôme unitaire.
Une racine est l'abscisse du point d'intersection du graphe avec l'axe OX. Pour trouver les racines, il faut donc résoudre l'équation f(x)=0. Définition - On appelle ordonnée à l'origine d'une fonction f le nombre f(0) (pour autant que la fonction soit définie en x=0).
Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = − b 2a . Factorisation : Pour tout x, ax2 +bx+c = a(x−x1)2. Signe : ax2 +bx+c est toujours du signe de a et s'annule pour x = x1. Résolution dans R de l'équation x2 +2x−3 = 0 : (Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b = 2 et c = −3 ).
La résolution d'une équation du second degré Pour résoudre une équation du second degré de la forme ax^2+bx+c=0, on détermine les éventuelles racines du trinôme. Le nombre appelé discriminant du trinôme est particulièrement utile dans la recherche des solutions d'une équation du second degré.
Définition : N°2 : On appelle « équation bicarrée » une équation du quatrième degré, ne renfermant que des puissances paires de l'inconnue.
Par exemple, 2x - 3y = 5 est une équation du premier degré tandis que x2 + y = 49 est une équation du deuxième degré. Pour résoudre une équation du premier degré à une variable, on fait passer dans le premier membre tous les termes qui contiennent la variable et dans le second les autres termes.
Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a−b et P=ac.
On a alors : x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0. On a alors : x0 = −b / (2a).
Ainsi, les zéros de la fonction sont les solutions de l'équation ( ? + 2 ) ( ? + 3 ) = 0 . Nous pouvons résoudre ces deux équations séparément pour obtenir ? = − 2 et ? = − 3 comme étant les zéros de la fonction.
Le degré d'un monôme à plusieurs variables correspond à la somme des exposants des variables. 2ab est de degré 2 car 1+1=2.
➔ Le nombre Δ = b2 - 4ac est appelé discriminant de l'équation (appellation due à Sylvester en 1851, du latin discrimen = séparation) : l'étude de son signe permet de conclure quant au nombre et aux valeurs des racines de l'équation.
Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A, égal à b2 − 4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est : ∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60.
+ β , où α et β sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
Pour trouver le ou les zéros d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme générale f(x)=ax2+bx+c, il faut remplacer f(x) par 0, puis trouver la ou les valeurs de x qui rendent l'équation vraie.
On suppose que pour tout polynôme B tel que deg(B) < n (n ∈ N∗ fixé) et pour tout polynôme A non nul, il existe Q, R ∈ K[X] tels que B = AQ + R avec deg(R) < deg(A). Soit B un polynôme de degré n. Si deg(A) > n = deg(B) alors l'écriture B = A × 0 + B permet de conclure.
On dit que a est racine d'ordre r de A s'il existe un polynôme Q tel que A = (X a)rQ avec Q(a) 6= 0. Autrement dit, a est racine d'ordre r de A si A est divisible par (X a)r mais pas par (X a)r+1. Une racine est dite simple si elle est d'ordre 1, double si elle est d'ordre 2,. . .
Si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x1)(x − x2). Si x0 est l'unique racine d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x0)2.
Si f est une fonction définie sur un ensemble D , à valeurs dans R ou C , on dit que x est une racine de f , ou un zéro de f , si f(x)=0 f ( x ) = 0 . Le mot racine est particulièrement employé pour les polynômes.
Pour faire disparaitre une racine carrée d'un dénominateur, il suffit de multiplier la fraction au numérateur et dénominateur par cette même racine carrée. Voyons plutôt. √5 = 1 √5 × √5 √5 = √5 (√5)2 = √5 5 .