Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, on vérifie si chacun des nombres est divisible par un nombre premier comme 2, 3, 5, 7, 11, etc. On note les diviseurs communs. À la fin, on multiplie ces diviseurs : c'est le plus grand commun diviseur.
En arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur ou PGCD de deux nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise simultanément. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10.
Méthode d'Euclide
La recherche du PGCD par la méthode des divisions euclidiennes est la conséquence du lemme d'Euclide. Lemme d'Euclide : soit un couple d'entiers naturels non nuls (a,b), si des entiers naturels q et r, avec r ≠ 0, sont tels que a = bq + r , alors : PGCD(a,b) = PGCD(b,r).
2) 756 441 n'est donc pas irréductible. On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s'agit de 63.
561÷357 (à la calculatrice touche ÷R) on obtient 1 en quotient et 204 en reste. Après, on continue : On divise le plus petit des deux nombres de la division précédente par le reste de cette division. --> Le dernier reste non nul est 51 donc PGCD (357 ; 561) = 51.
Exercice 1 : Diviseurs
1. Les deux plus grands diviseurs de 95 sont 45 et 95 car tous les diviseurs de 95 sont 1, 5, 19, 45 et 95. 2.
Les diviseurs de 126 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.
Exemple : 12 a pour diviseurs 6, 4, 3, 2 et 1.
Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Quel est le plus grand diviseur commun de 52, 84, 108 et 140 ? 13.
PGCD (84 ; 270) = 6. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36.
2/ PGCD (156; 130) = 26. Les diviseurs communs de deux nombres sont tous les diviseurs du plus grand commun diviseur (PGCD).
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et leurs opposés. Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 et leurs opposés. Diviseurs communs de 24 et 60 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 et leurs opposés. Le plus grand de ces diviseurs est 12.
Cette réponse est verifiée par des experts
Les plus petits diviseurs de 45 sont : 1 et 3.
6 est le PGCD de 18 et 24.
Théorème — Soient a, b, v trois entiers, alors PGCD(a, b) = PGCD(a + bv, b). Cette propriété fonde l'algorithme d'Euclide, une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres (voir plus bas).
Les diviseurs communs à 162 et 108 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 et 54. Ils ont donc trois diviseurs communs plus grands que 10 : 18; 27 et 54.
Le plus grand diviseur commun aux deux nombres est 90.
Les diviseurs communs à 210 et 350 sont : 1, 2, 5, 7, 35 et 70. d. Le PGCD de 210 et 350 est 70.
2. Les diviseurs de 90 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90. Les diviseurs de 126 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 14 ; 18 ; 21 ; 42 ; 63 ; 126.