624 = 408*1 + 216 408 = 216*1 + 192 216 = 192*1 + 24 192 = 24*8 + 0 Le PGCD de 624 et 408 est 24. Le PGCD peut se calculer avec une calculatrice. Cela se fait soit avec des divisions avec restes successives, soit directement via le bouton pgcd de la calculatrice si ce dernier est disponible.
Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, on vérifie si chacun des nombres est divisible par un nombre premier comme 2, 3, 5, 7, 11, etc. On note les diviseurs communs. À la fin, on multiplie ces diviseurs : c'est le plus grand commun diviseur.
Théorème — Soient a, b, v trois entiers, alors PGCD(a, b) = PGCD(a + bv, b). Cette propriété fonde l'algorithme d'Euclide, une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres (voir plus bas).
2) 756 441 n'est donc pas irréductible. On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s'agit de 63.
Méthode 2 : le tableau des diviseurs premiers
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Le PGCD sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Cette méthode est plus rapide et efficace lorsque l'on cherche le PGCD entre deux grands nombres.
561÷357 (à la calculatrice touche ÷R) on obtient 1 en quotient et 204 en reste. Après, on continue : On divise le plus petit des deux nombres de la division précédente par le reste de cette division. --> Le dernier reste non nul est 51 donc PGCD (357 ; 561) = 51.
Présentation. Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36.
60 = 24 × 2 + 12 et 24 = 2 × 12, donc 12 est le pgcd de 60 et 24.
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
Pour trouver le plus grand facteur commun entre deux ou plusieurs nombres, faites une liste de tous les facteurs de chacun d'eux. Par exemple, pour le nombre 10, les facteurs sont 1, 2, 5 et 10, et pour le nombre 21, les facteurs sont 1, 3, 7 et 21.
Les diviseurs communs à 162 et 108 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 et 54. Ils ont donc trois diviseurs communs plus grands que 10 : 18; 27 et 54.
PGCD (84 ; 270) = 6.
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
Les diviseurs communs à 210 et 350 sont : 1, 2, 5, 7, 35 et 70. d. Le PGCD de 210 et 350 est 70.
Par exemple, les diviseurs communs à 36, 48 et 60 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 donc PGCD(36, 48, 60) = 12.
Diviseurs de 90 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90 (idem). Qu'est-ce que c'est ? Soient a et b deux entiers positifs. Le PGCD de a et b, noté pgcd(a; b), est le plus grand diviseur commun à a et à b (il divise a et b à la fois.)
PGCD (34 ; 51) = 17, donc les nombres 25 et 48 ne sont pas premiers entre eux.
D'après la première partie, 18 est le plus grand commun diviseur de 90 et 126 donc elle pourra réaliser au maximum 18 bouquets.
b. Les diviseurs de 125 sont : 1 — 5 — 25 et 125. Les diviseurs de 175 sont : 1 — 5 — 7 — 25 — 35 et 175.
Concernant 192, la réponse est : Non, 192 n'est pas un nombre premier. La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 192) est la suivante : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 192.
Quel est le plus grand diviseur commun de 52, 84, 108 et 140 ? 13.
4) Par conséquent, le PGCD de 168 et 86 est 2.
Le plus grand diviseur commun aux deux nombres est 90.