Méthode d'Euclide
La recherche du PGCD par la méthode des divisions euclidiennes est la conséquence du lemme d'Euclide. Lemme d'Euclide : soit un couple d'entiers naturels non nuls (a,b), si des entiers naturels q et r, avec r ≠ 0, sont tels que a = bq + r , alors : PGCD(a,b) = PGCD(b,r).
36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24. Définition : Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.
18 n'est pas une fraction irréductible car 12 et 18 ne sont pas des nombres premiers entre eux. On peut donc la simplifier : ´ PGCD(12; 18) = 6.
60 = 24 × 2 + 12 et 24 = 2 × 12, donc 12 est le pgcd de 60 et 24.
Les diviseurs communs à 210 et 350 sont : 1, 2, 5, 7, 35 et 70. d. Le PGCD de 210 et 350 est 70.
72 = 24*3 + 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.
D'après la première partie, 18 est le plus grand commun diviseur de 90 et 126 donc elle pourra réaliser au maximum 18 bouquets.
4) Par conséquent, le PGCD de 168 et 86 est 2.
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
Un tel entier existe bien, et il en existe un seul vérifiant ces trois propriétés qui est le PGCD au sens de la définition précédente quand (a,b) ≠ (0,0). Avec cette définition PGCD(0,0)=0.
utilise le pgcd quand on s'occupe des diviseurs communs à ces nombres et qu'on est amené à chercher le plus grand de ces diviseurs. Le PGCD de différents nombres est un diviseur de chacun des nombres et est donc toujours inférieur ou égal à chacun des nombres.
Donc PGCD(144 ; 252) = 36.
Le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres (ceux en rouge) donc 2 x 2 x 3 = 12. Le PPCM est le produit du PGCD par le reste des facteurs non communs (en noir) donc 12 x 3 x 7 = 252.
On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de b et r. Et donc en particulier, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r).
2) 756 441 n'est donc pas irréductible. On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s'agit de 63.
PGCD (84 ; 270) = 6.
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
Exemple Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 . Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ;12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. Les diviseurs communs à 48 et 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 24 . Le PGCD de 48 et 72 est donc : 24 .
Le PPCM de 18,24 est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers par le plus grand nombre de fois qu'ils apparaissent dans chaque nombre. Multiplier 2⋅2⋅2⋅3⋅3 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 . Multiplier 2 2 par 2 2 . Multiplier 4 4 par 2 2 .
PPCM (504 ; 492) = 20 664.
Quel est le plus grand diviseur commun de 52, 84, 108 et 140 ? 13.
2/ PGCD (156; 130) = 26. Les diviseurs communs de deux nombres sont tous les diviseurs du plus grand commun diviseur (PGCD).
561÷357 (à la calculatrice touche ÷R) on obtient 1 en quotient et 204 en reste. Après, on continue : On divise le plus petit des deux nombres de la division précédente par le reste de cette division. --> Le dernier reste non nul est 51 donc PGCD (357 ; 561) = 51.