Comment calculer les mineurs d'une matrice ? Pour une matrice carrée d'ordre 2, trouver les mineurs c'est calculer la matrice des cofacteurs sans les coefficients. Pour les matrices de taille supérieure comme 3x3, calculer les déterminants de chaque sous-matrice.
Définition : Si A est une matrice carrée (ai,j)1≤i,j≤n ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ n , les mineurs principaux sont les déterminants des matrices tronquées (ai,j)1≤i,j≤k ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ k , pour k allant de 1 à n .
Déterminant : si n ≥ 2, det(comA) = (detA)n–1. Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, com(comA) = (detA)n–2 A. Si P(X) = det(A – X In) est le polynôme caractéristique de A et si Q est le polynôme défini par Q(X) = (P(0) – P(X))/X, alors : t(comA) = Q(A).
Additionnez les trois cofacteurs.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Si A est une matrice carrée, alors det(A*) = det A. Si M = M*, alors la matrice est dite hermitienne ou auto-adjointe. Si M = –M*, alors la matrice est dite antihermitienne (en). Si M M* = M* M, alors la matrice est dite normale.
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .
Comment calculer le conjugué d'une matrice complexe ? La matrice conjuguée se calcule pour une matrice contenant des éléments complexes en calculant le conjugué de chaque élément. Utiliser le caractère i pour représenter i l'unité imaginaire des nombres complexes.
Une sous-matrice est une matrice obtenue à partir d'une matrice en ne gardant que certaines lignes ou colonnes. est une sous-matrice de A constituée des lignes 1 et 2, et des colonnes 1,3 et 4. Nous pouvons dire aussi que cette sous-matrice est formée en supprimant la ligne 3 et la colonne 2.
1.1.
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : det a b c d = ad − bc. C'est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l'autre diagonale (en orange).
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c.
Définir la notion de matrice inverse. Donner un moyen simple d'obtenir la matrice inverse d'une matrice carrée d'ordre 2. Pour tout nombre non nul X, il existe un unique nombre Y tel que X Y = Y X = 1. On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X -1 = .
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
a d−cb (d −b −c a ) . Dans le cas général, on utilise la méthode du pivot de Gauss. Pour montrer qu'une matrice M est inversible : On applique les opérations élémentaires : • Echanger deux lignes • Multiplier une ligne par un nombre non nul • Ajouter/soustraire un multiple d'une ligne à une autre ligne.
Définition : Puissance d'une matrice
Si ? est une matrice carrée et ? est un entier positif, la ? e puissance de ? est donnée par ? = ? × ? × ⋯ × ? , où il y a ? copies de matrice ? .
Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible. Méthode n°3 : Soit A une matrice carrée d'ordre n. Si 0 n'est pas valeur propre de A alors A est inversible.
Il suffit de rentrer chaque matrice de façon "naturelle" élément par élément, séparé d'un espace en effectuant un saut de ligne à chaque fin de ligne de la matrice. Vous pouvez entrer des entiers relatifs et des fractions de la forme -3/4 par exemple.