Lorsqu'on recherche l'équation d'une droite à partir du taux de variation et d'un point, on peut suivre les étapes suivantes : Dans l'équation y=ax+b y = a x + b , remplacer le paramètre a par le taux de variation donné. Dans cette même équation, remplacer x et y par les cordonnées (x,y) du point donné.
La fonction f qui associe à tout nombre x le nombre mx + p est une fonction affine. Son expression algébrique s'écrit : f(x) = mx + p.
Pour trouver a et b, il faut résoudre le système. Par addition membre à membre, on obtient 2b = 4, soit b = 2. a + 2 = -3, soit a = -5. f est une fonction affine dont la représentation graphique est une droite d qui passe par les points A(0 ; 6) et B(1 ; 2).
Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction f [f : x → f(x)], il faut tout simplement remplacer x par la valeur de ce nombre.
Si une fonction f est affine, alors on peut l'écrire sous la forme f(x)=ax+b, où a et b sont deux nombres réels. La représentation graphique de cette fonction est une droite. Le nombre "a" est le coefficient directeur de cette droite.
On appelle fonction affine toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x + b où a et b sont des constantes. Ce nombre a est appelé coefficient directeur de la fonction affine f. Ce nombre b est appelé ordonnée à l'origine de la fonction affine f.
On dit que f est une application affine s'il existe un point a de E et une application linéaire f de E dans F tels que, pour tout point x de E, on ait la formule : (1) f(x) = f(a) + f(−→ ax). Alors, pour tout point b de E, on a aussi : f(x) = f(b) + f( −→ bx).
Une fonction affine est une fonction ayant pour structure ax + b dont l'inconnue X est un nombre réel et les données a et b, des nombres relatifs donnés. Le but étant alors de calculer l'inconnue X. La fonction affine peut être représentée par un graphique et notamment une ligne droite.
Une fonction affine f f f est une fonction définie sur R \mathbb{R} R par la relation f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b f(x)=ax+b. La représentation graphique de la fonction affine f : x → a x + b f:x→ax+b f:x→ax+b est une droite ( d ) (d) (d).
Une fonction affine est une fonction linéaire avec l'ordonnées à l'origine b = 0 b=0 b=0. Toute fonction affine et linéaire admet une droite comme représentation graphique. Toute droite est représentée par l'équation f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b f(x)=ax+b.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Dans le cas de la fonction linéaire, cette droite passe par l'origine du repère. l'accroissement de f(x) lorsque x augmente de 1 (c'est le coefficient de proportionnalité entre les accroissements de f(x) et de x).
Définition et notations de fonctions affines
En associant à chaque nombre "x" un nombre "ax + b" appelé image de x, on définit une fonction affine f. On notera cette fonction f : x → ax + b . L'image de x sera notée f(x) .
Une fonction linéaire est le cas particulier de fonction affine avec b = 0. Une fonction linéaire est donc aussi une fonction affine. Une fonction constante est le cas particulier de fonction affine avec a = 0. Une fonction constante est donc aussi une fonction affine.
On notera cette fonction de manière équivalente : ou f : x → ax ou f(x) = ax. la fonction linéaire g de coefficient se note g : x → x ou g(x) = x. Remarques : pour toute fonction linéaire f de coefficient a, on a : f(0) = a × 0 = 0.
Donc f:x ↦ 3x - 2. La droite (d2) représente une fonction affine g telle que : g(x) = ax + b. Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 1 donc b = 1.
Rappel : si f(x) = ax+b, alors f'(x) = a, autrement dit la fonction dérivée d'une fonction affine est la fonction constante égale au coefficient directeur de la droite représentant cette fonction.
Pour déterminer les solutions d'une équation de la forme f(x) = k, on lit les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation y = k. Dans le cas d'une inéquation f(x) < k, on lit les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de la droite d'équation y = k.
La représentation graphique d'une fonction linéaire f : x → a x est la droite d'équation y = ax. Elle passe par l'origine du repère et par le point (1 ; a).
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 2, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 2. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
Lorsque b est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien. La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel a. Si a > 0, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si a < 0, elle est décroissante (la droite « descend »).
La fonction peut donc être définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 + 4 (notation fonctionnelle) ou 𝑓 ∶ 𝑥 ⟶ 2 𝑥 + 4 (notation par flèche). Cela signifie que l'on peut déterminer si 𝑓 définit une fonction en traçant la représentation graphique de 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) et en effectuant le test de la droite verticale.
Par conséquent, le graphique d'une fonction non affine n'est pas une droite. Un exemple de fonction non affine serait quelque chose comme 𝑦 est égal à 𝑥 au cube ou 𝑦 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑥. Si nous examinons notre graphique, nous pouvons voir qu'il s'agit d'une droite non verticale.
En fait, on a une méthode générale pour déterminer le coefficient directeur d'une fonction affine : c'est le quotient de la différence des ordonnées par la différence des abscisses correspondantes.
Trouver l'équation d'une droite à partir de deux points
Isoler le paramètre b afin de trouver la valeur de l'ordonnée à l'origine. Écrire l'équation de la droite sous la forme y=mx+b y = m x + b avec les valeurs des paramètres m et b.
On appelle image de x par f le nombre f(x). On appelle antécédent de y le nombre x telle que f(x) = y.