Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Pour une suite géométrique (Un) de raison q et de premier terme positif : Si q > 1 alors la suite (Un) sera croissante. Si q = 1 alors la suite (Un) sera constante. Si 0 < q < 1 alors la suite (Un) sera décroissante.
Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : un+1 ≥ un ou: Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal à son précédent : un+1 ≤ un ou: Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.
Si la raison est supérieure à 1, chaque terme sera plus grand que le précédent et la suite est croissante. Si la raison est de 1, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
Une suite numérique est une suite géométrique de raison s'il existe un nombre réel tel que u n + 1 = q u n . Le terme général d'une suite géométrique de raison est u n = u 0 q n . Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut démontrer que le quotient u n + 1 u n est constant pour tout nombre entier .
u p + ⋯ + u q = ( q − p + 1 ) × ( u p + u q ) 2 . On retient souvent cette formule sous la forme : up+⋯+uq=(nb de termes)×(premier terme+dernier terme)2. u p + ⋯ + u q = ( nb de termes ) × ( premier terme + dernier terme ) 2 .
Définition et représentation graphique. Définition Une suite numérique à termes strictement positifs (u_n) est une suite géométrique lorsqu'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=q \times u_{n}. Le nombre q est appelé la raison de la suite géométrique (u_n).
Soit (un) une suite numérique, a et b deux nombres réels et n un nombre entier naturel. (un) est une suite arithmético-géométrique si elle est définie par un premier terme et la relation de récurrence un+1 = aun + b.
Pour déterminer la raison d'une suite géométrique donnée, on divise n'importe quel terme de la suite par le terme précédent. Par exemple, on peut diviser le troisième terme par le deuxième terme ou le deuxième terme par le premier terme ; dans les deux cas, on trouve le même nombre si la suite est géométrique.
Forme explicite : si la suite (un) est géométrique de raison q et de premier terme u0, alors pour tout entier naturel n, un = u0qn. Plus généralement, pour tous entiers naturels n et p, un = up qn−p. si q = 1, alors S = u0 +u1 +···+un = u0 1−qn+1 1−q .
Suites monotones
Une suite réelle monotone est une fonction monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.
Étudier la monotonie d'une suite, c'est dire si la suite est croissante, décroissante, ou ni l'un ni l'autre. La suite (un) définie par avec u0 = 1 est une suite arithmétique de raison r = –3 donc décroissante sur . Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 positif de raison q.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
On peut trouver la raison en soustrayant un terme de la suite arithmétique au terme suivant. Par exemple, prendre la différence des deux premiers termes nous donne − 3 − 2 = − 5 . Par conséquent, la raison de cette suite arithmétique est − 5 . Comme la raison est négative, cette suite est donc décroissante.
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u1 = a, a étant un réel non nul. On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
Comment reconnaître une suite arithmétique et géométrique ? Une suite arithmétique est une suite qui pour chaque terme ajoute le même nombre réel au terme précédent. Une suite géométrique est une suite qui pour chaque terme multiplie le même nombre au terme précédent.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
La suite 1,2,4,8,16,… est une suite géométrique de raison 2 puisque chaque terme est obtenu du précédent en le multipliant par 2. La suite 9,3,1,1/3,… est une suite géométrique de raison 1/3.
f est strictement croissante si et seulement si pour tout x ∈ I, f ' (x) ≥ 0 et de plus l'ensemble des points où la dérivée f ' s'annule est d'intérieur vide (c'est-à-dire qu'il ne contient aucun intervalle non trivial).
Si le taux de variation est positif (a>0), la fonction est croissante sur tout son domaine. Si le taux de variation est négatif (a<0), la fonction est décroissante sur tout son domaine.
La fonction 𝑓 est strictement croissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 et est strictement décroissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) < 0 . Par conséquent, 𝑓 est strictement croissante sur l'intervalle ] 0 ; 1 [ et est strictement décroissante sur les intervalles ] − ∞ ; 0 [ et ] 1 ; + ∞ [ .
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).