Comment reconnaître une suite arithmétique et géométrique ? Une suite arithmétique est une suite qui pour chaque terme ajoute le même nombre réel au terme précédent. Une suite géométrique est une suite qui pour chaque terme multiplie le même nombre au terme précédent.
Nature de la progression : Les suites arithmétiques présentent une différence constante entre deux termes consécutifs . Cela signifie que la différence entre deux termes consécutifs quelconques de la suite reste la même. Les suites géométriques présentent un rapport constant entre les termes consécutifs.
Pour justifier qu'une suite (un) est géométrique, il suffit d'utiliser la définition suivante. Une suite (un) est géométrique si l'on peut écrire un+1 sous la forme : un+1 = qun. Le nombre réel q est alors la raison de la suite géométrique (un).
La suite 6, 12, 18, 24,... est une suite arithmétique , car chaque terme est obtenu en ajoutant 6 au terme précédent. Ce n'est pas une suite géométrique car les rapports entre deux termes consécutifs sont différents. Par conséquent, elle est classée comme arithmétique.
On appelle cela la suite géométrique .
Méthode pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique : On utilise 3 termes consé- cutifs qui fournissent un contre-exemple. Exemple : si pour tout entier naturel n: un = n2, alors: u1 Гu0 =1 et u2 Гu1 = 3 ; u n'est donc pas arithmétique (si elle l'avait été, ces 2 différences auraient été égales).
Il s'agit d'une suite arithmétique, car chaque terme a une différence constante. Dans ce cas, l'addition du terme précédent donne le terme suivant.
Définition 1 (Suite arithmétique) — On dit qu'une suite (𝑢𝑛) est arithmétique s'il existe un réel 𝑟 tel que pour tout entier 𝑛 : 𝑢𝑛+1 −𝑢𝑛 = 𝑟. Dans ce cas, la valeur obtenue est appelée la raison de la suite.
Les suites géométriques
Une suite est géométrique lorsque, connaissant le nombre initial, on passe d'un nombre au suivant en multipliant toujours par le même nombre ; on dit encore que ce nombre est la raison de la suite.
Suite arithmético-géométrique
Après avoir calculé le premier terme de la suite v , on exprime son terme général puis on en déduit celui de u . Étant donnée une suite arithmético-géométrique définie par u 0 = 0 et ∀ n ∈ N, u n +1 = 3 u n + 4, on résout l'équation λ = 3 λ + 4, dont l'unique solution est −2.
Réponse : La somme de la série 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 est égale à 45 .
Une suite linéaire (ou arithmétique) augmente ou diminue d'un même nombre à chaque terme, tandis que les suites non linéaires présentent des variations entre les termes . Une suite géométrique possède une règle de multiplication terme à terme par un nombre précis.
La différence commune ( d ) est : 7 − 4 = 3 12 − 7 = 5 La séquence donnée n'est pas une séquence arithmétique car la différence commune de deux termes successifs n'est pas constante.
Si une suite n'a ni raison ni différence , ce n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique. Il faut néanmoins chercher à en dégager la régularité et à trouver une formule qui la décrit.
Les multiples de 6 sont 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 , etc. Il s'agit d'une suite où la différence entre chaque nombre suivant et le nombre précédent, c'est-à-dire deux multiples ou produits consécutifs, est de 6.
Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante.
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).
Forme explicite d'une suite géométrique
☞ Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tout entier naturel n on a : un = u0qn. ☞ Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et k on a : un = ukqn−k .