Les suites de terme général avec entier supérieur ou égal à 1, tendent vers 0 lorsque tend vers . Les suites de terme général , avec –1 < q < 1, tendent vers 0 lorsque tend vers . Une suite est dite divergente si elle n'est pas convergente.
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Démonstration : Si la série ( ∑ f n ) est normalement convergente, il suffit de poser a n = m n pour obtenir une série numérique convenable. Réciproquement, on a, par hypothèse : la série numérique ( ∑ a n ) est convergente et ( ∀ x ∈ I ) | f n ( x ) | ≤ a n , donc m n = sup x ∈ I { | f n ( x ) | } ≤ a n .
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
Proposition : Si la série ∑n≥0un(x) ∑ n ≥ 0 u n ( x ) converge normalement sur I , alors la suite des sommes partielles SN(x)=∑Nn=0un(x) S N ( x ) = ∑ n = 0 N u n ( x ) converge uniformément vers une fonction S sur I .
On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si : ∀ε>0, ∀x∈I, ∃n0∈N tel que ∀n≥n0, |fn(x)−f(x)|≤ε.
(Xn) converge en loi vers X si, notant Fn la fonction de répartition de Xn et F celle de X , en tout réel x où F est continue, on a : Fn(x)→F(x).
Une suite u est dite convergente vers un point l (pas nécessairement unique) dans un espace topologique X lorsque tout voisinage de l contient tous les termes de la suite à partir d'un rang suffisamment grand ; une série est convergente lorsque la suite de ses sommes partielles l'est.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Définition 1.1.2
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Dans ce cas, on dit que la méthode est d'ordre p. Si p = 1, il est nécessaire que C < 1 dans (1) pour que x(n) converge vers α. On dit que la convergence est linéaire si p = 1 (C < 1), quadratique si p = 2, et cubique si p = 3. La constante C est appelée facteur de convergence de la méthode.
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
Théorème : Limites d'une suite géométrique
Soit (vn) une suite géométrique de raison q non nulle. Pour tout entier naturel n, v n = v 0 × q n v_n=v_0 \times q^n vn=v0×qn , avec v 0 v_0 v0 le premier terme de la suite.
L'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si (xn) et (yn) sont des suites réelles convergentes et que lim xn = L et lim yn = P, alors la suite (xn + yn) est aussi convergente et a pour limite L + P. Si a est un nombre réel, alors la suite (a xn) est convergente de limite aL.
Une suite est convergente si et seulement si les suites ( u 2 n ) et ( u 2 n + 1 ) sont convergentes et ont même limite.
On traduit ce théorème en disant que est un corps complet ce qui signifie que toute suite de Cauchy d'éléments de est convergente dans ; est le complété de c'est à dire le plus petit corps complet contenant .
Par le principe de récurrence, P(n) P ( n ) est vraie pour tout entier n n et on a bien démontré que la suite (un) ( u n ) est croissante. Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
un = 0. Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (vk+1 −vk) = vn+1 −v0 Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature, il en est de même de (vn).