La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ]a ; [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ] ; a[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
En pratique, pour démontrer qu'une suite converge vers une limite "l" on choisit le plus souvent un intervalle centré sur "l", de la forme ] l - a ; l + a [ (où "a" est un réel positif) puis l'on motre que quel que soit la valeur de il existe un rang "n" à partir du quel l-a <un < l+a.
Calcul de limite
Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u+v tend vers l+l'. Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers l'infini (+∞ ou -∞) alors la suite w=u+v tend vers cet infini.
Pour conjecturer la limite d'une suite, il suffit de calculer quelques valeurs de la suite, avec une calculatrice par exemple, et de voir si un motif ressort. Les trois premiers termes de la suite définie par u n = sin pour n ≥ 1 sont 0,841 , 0,457 , 0,047 .
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
La limite d'une fonction, c'est en gros « vers quoi tend » la fonction. Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +∞, la fonction « tend » vers 0, c'est-à-dire qu'elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher.
La limite d'une suite peut être un réel. Celui-ci n'est atteint qu'à l'infini. C'est-à-dire que, dans la plupart des cas, les valeurs de la suite progressent vers lui sans jamais l'atteindre (comme la fonction inverse progresse vers 0 sans jamais lui être égale).
Théorème : Limites d'une suite géométrique
Pour tout entier naturel n, v n = v 0 × q n v_n=v_0 \times q^n vn=v0×qn , avec v 0 v_0 v0 le premier terme de la suite.
Une suite numérique est une suite géométrique de raison s'il existe un nombre réel tel que u n + 1 = q u n . Le terme général d'une suite géométrique de raison est u n = u 0 q n . Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut démontrer que le quotient u n + 1 u n est constant pour tout nombre entier .
Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, le quotient n'est pas constant.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
On dit qu'une suite tend vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux (c. -à-d. contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang).
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
La limite d'une fonction en un point peut ne pas exister pour une dernière raison. Au lieu de croître ou décroître sans borne, les images peuvent osciller et ne jamais converger vers une seule valeur.
Définition : Limite d'une fonction
Si 𝑓 ( 𝑥 ) tend vers une certaine valeur ℓ lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (des deux côtés) mais pas nécessairement quand 𝑥 = 𝑎 , alors on dit la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) quand 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à ℓ et on note l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = ℓ .
Il est clair que / admet une limite en a si et seulement si / admet une limite à gauche et à droite en a et / (a) = /- (a) (et alors lim xªa /(x) est égale à cette valeur commune).
Une application f : A → N admet une limite en p si (et seulement si) pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tous x, y dans A ∩ B(p ; δ), on ait d(f(x) ; f(y)) < ε. (Ce théorème se généralise au cas où M est seulement un espace topologique, en remplaçant les boules B(p ; δ) par des voisinages de p.)
On dresse d'abord la courbe de la fonction f sur la calculatrice, puis en zoomant on repère que la courbe croise l'axe des abscisses entre x= -3{,}3 et x=-3{,}1. On affiche ensuite donc une table des valeurs de f comprises entre x= -3{,}3 et x=-3{,}1 avec un pas de p=0{,}1.
La Gendarmerie nationale est une des plus anciennes institutions françaises. Héritière de la Maréchaussée de France, elle exerce aujourd'hui des missions de police, sécurité et protection auprès de toute la population française.
Le zéro est alors appelé sunya ce qui signifie le vide. Au XIIe siècle, le mathématicien indien Bhaskara parvient à établir que 1/0 = l'infini. Il démontre ainsi, la relation qui existe entre le vide et l'infini. Au IXe siècle, les Arabes emprunteront aux Indiens le zéro, le mot sunya devenant sifr.
On dira que la suite converge (tend) vers 0 ou que la suite a pour limite 0 lorsque tend vers . On pourra écrire . Soit une suite de nombres réels. Une suite est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
Définition 1.1.2
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Définition : une suite (un) est arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = un +r. Le réel r est appelé raison de la suite (un). Forme explicite : si la suite (un) est arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors pour tout entier naturel n, un = u0 +nr.