Qu'appelle-t-on une intégrale impropre ? Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction est illimité, alors l'intégrale de sur cet intervalle est dite impropre. C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est ou .
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
On dit que f est intégrable sur I ou que ∫If ∫ I f est absolument convergente si ∫I|f| ∫ I | f | converge. Théorème : Si f est intégrable sur I , alors ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge. Si ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge sans que f ne soit intégrable sur I , alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Dans ce cas, on note ∫+∞af(t)dt ∫ a + ∞ f ( t ) d t ou ∫+∞af ∫ a + ∞ f cette limite. Une telle intégrale est alors appelée intégrale généralisée ou intégrale impropre. Soit f:[a,b[→K f : [ a , b [ → K continue par morceaux avec a,b∈R a , b ∈ R .
Définition : Soit une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle , avec ω ∈ R ou . On dit que l'intégrale ∫ a ω f ( t ) d t est absolument convergente si l'intégrale ∫ a ω | f ( t ) | d t est convergente.
Toute fonction en escalier est bornée car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], |f(x) − ϕ(x)| ≤ 1, et donc |f(x)|≤|ϕ(x)| + 1, ce qui prouve que f est bornée.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Comment justifier l'existence d'une intégrale ? L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.
Si I est un intervalle borné, toute fonction continue par morceaux et bornée sur I est intégrable sur I. En particulier, si f admet une limite finie aux bornes de I, alors f est intégrable sur I. g(t). Alors f est intégrable au voisinage de t0 si, et seulement si, g est inté- grable au voisinage de t0.
Pour étudier une intégrale généralisée ∫If ∫ I f , Étape 1 : on étudie la continuité (par morceaux) de f sur I . Il faut vérifier notamment qu'il n'y a pas de problèmes à l'intérieur de ]a,b[ . D'autre part, il est possible que f se prolonge par continuité en a (ou en b ).
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Si la fonction f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine. L'intégrale entre a et -a est nulle car l'aire comprise entre -a et 0 aura un signe moins alors que celle entre 0 et a aura la même valeur mais avec un signe +.
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
La dérivabilité se démontre usuellement de deux façons : dans l'étude locale (c'est-à-dire en se plaçant dans un voisinage du point étudié), en utilisant directement la définition de l'existence du nombre dérivé à l'aide de limites.
Une intégrale est dite impropre lorsque une des bornes est \(\pm \infty\), ou si la fonction intégrée n'est pas continue sur l'intervalle d'intégration.
f(t)dt. Lorsqu'on trouve une primitive d'une fonction f dans une table, ou qu'elle se déduit des tables à partir de quelques calculs algébriques, il n'y a rien d'autre à faire : L'intégrale est donnée par la Formule de Newton-Leibniz. (e2x + sin(x))dx.
Grossièrement, l'intégrale de f représente l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses en comptant positivement ce qui est au-dessus et négativement ce qui en-dessous de cet axe. Si ton intégrale a l'air négative c'est que l'aire en-dessous de l'axe des abscisses est plus importante que celle qui est au-dessus.
1) Si F est une primitive de f il en est de même de F + k o`u k est une fonction constante. 2) Si F et G sont deux primitives de f sur un intervalle I, la différence F −G est une constante. Soit c ∈ I et k ∈ R. Si f admet une primitive F, il existe une unique primitive G de f qui vérifie G(c) = k.
L'intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d'aire, la différence entre : les aires situées au dessus de (Ox) et les aires situées en dessous de (Ox).
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.
L'intégrale de sin(x) par rapport à x est −cos(x) .