Sommaire. On peut déterminer graphiquement la valeur de la dérivée d'une fonction f en un réel a, en utilisant la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. On considère la fonction f, dont la courbe représentative C_f est donnée ci-dessous. T_0 est la tangente à C_f au point d'abscisse 0.
La fonction f:I→R f : I → R est dérivable en a∈I a ∈ I si le taux d'accroissement f(x)−f(a)x−a f ( x ) − f ( a ) x − a admet une limite quand x tend vers a .
La dérivabilité se démontre usuellement de deux façons : dans l'étude locale (c'est-à-dire en se plaçant dans un voisinage du point étudié), en utilisant directement la définition de l'existence du nombre dérivé à l'aide de limites.
On dit qu'une fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 à gauche ou à droite respectivement.
Graphiquement, si la fonction est définie mais non dérivable en un point, on observe un point anguleux, c'est-à-dire que le tracé de la courbe est « cassé ». Pourquoi ? Parce que la tangente à gauche du point n'est pas la même qu'à droite.
Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues.
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
Pour que la fonction valeur absolue soit dérivable en 0, il doit exister un réel unique L tel que tende vers L lorsque h tend vers 0. Or : si h > 0, donc on aurait L = 1 ; si h < 0, donc on aurait L = −1.
Un tableau de variations indique quand une fonction est croissante ou décroissante sur son domaine de définition. Pour dresser un tableau de variations, il faut utiliser la dérivation pour déterminer quand la fonction considérée est positive, négative et nulle.
Exemple. Soit f une fonction de la variable réelle x définie par f ( x ) = 8 x + 32 . La fonction est définie pour tous les x tels que est positif ou nul et seulement pour ceux-ci. La quantité est positive ou nulle si et seulement si 8 x est supérieur ou égal à − 32 .
Se dit d'une fonction qui a une dérivée. (On distingue, selon les cas, les fonctions dérivables à droite ou à gauche, dérivables sur un intervalle ouvert ou fermé, dérivables n fois ou indéfiniment dérivables.)
Interprétation graphique du nombre dérivé.
Si a∈ I et si f est dérivable en x =a, alors : La courbe représentative de f possède une tangente au point M a ; f a et le coefficient directeur de cette tangente est le nombre dérivé f ' a de la fonction f en x =a.
En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal.
Lorsqu'une fonction n'est pas linéaire, sa pente peut varier d'un point à l'autre. Il nous faut donc introduire la notion de dérivée qui permet d'obtenir la pente en tout point de ces fonctions non linéaires.
Donc n'est pas dérivable en 0. Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0.
La fonction racine carrée n'est pas dérivable dans son ensemble de définition. Dérivable pour tous réels strictement positifs : sauf zéro.
Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction dérivable et a ∈ I. On dit que f est deux fois dérivable en a si f est dérivable en a. La dérivée de f en a s'appelle la dérivée seconde de f en a et se note f (a). On dit que f est deux fois dérivable si f est dérivable.
si la dérivée est nulle sur tout l'intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle. Exemple : la fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition.
Définition. La dérivée d'une fonction f(x) représente le taux de variation de cette fonction. Elle peut être dénotée f'(x) ou encore dfdx. Le calcul et l'étude de la dérivée sont des notions importantes dans l'étude des fonctions.
Si f ^ { \prime } est strictement positive sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur \text{I.} Si f ^ { \prime } est strictement négative sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur \text{I.}
Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B. Pour cela, on peut : lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur . Ainsi, f '(0) = –1,5.
Pour lire et analyser un graphique, le physicien recherche les informations générales qu'apporte le graphique puis il analyse précisément les informations qu'apportent la courbe afin de voir s'il peut interpréter et ainsi modéliser (trouver une relation mathématique simple entre les grandeurs du graphique).
1- Lire les informations apportées par les axes. 2- Repérer sur la courbe les points remarquables (maximum, minimum, point d'inflexion). 3- Découper la courbe en plusieurs parties. 4- Justifier chaque partie par des données chiffrées qui indiquent comment évolue le paramètre mesuré par rapport au paramètre qui a varié.
La fonction peut donc être définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 + 4 (notation fonctionnelle) ou 𝑓 ∶ 𝑥 ⟶ 2 𝑥 + 4 (notation par flèche). Cela signifie que l'on peut déterminer si 𝑓 définit une fonction en traçant la représentation graphique de 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) et en effectuant le test de la droite verticale.
Remarque : Dire que la fonction carré est définie sur ℝ signifie que peut prendre n'importe quelle valeur de ℝ. La courbe d'équation = de la fonction carré est appelée une parabole. Propriété : La courbe d'équation = de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.