Définition — Soient E et F deux espaces topologiques, f une application de E dans F et a un point de E. La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.
Pour déterminer la continuité d'une fonction, il faut calculer sa limite à gauche (LG) et sa limite à droite (LD ) . Après avoir calculé ces limites, vérifiez si elles sont égales. Si c'est le cas, la fonction est continue ; sinon, elle ne l'est pas.
f ( a ) = lim a f . (voir cet exercice). Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction f en un point a, on peut trouver deux suites (un) et (vn) qui tendent vers a telles que (f(un)) ( f ( u n ) ) et (f(vn)) ( f ( v n ) ) admettent des limites différentes (voir cet exercice).
Concepts clés. Pour qu'une fonction soit continue en un point, elle doit être définie en ce point, sa limite doit exister en ce point et la valeur de la fonction en ce point doit être égale à la valeur de la limite en ce point .
Notion de continuité
On dit qu'une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x)= f(a). On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle I si pour tout x_0∈I lim(x→x0)f(x) = f(x0). Une fonction continue est une fonction que l'on peut dessiner « sans lever le crayon ».
Si une fonction f est définie uniquement sur un intervalle fermé [c,d], alors on dit que la fonction est continue en c si limite(x→c+, f(x)) = f(c) . De même, on dit que la fonction f est continue en d si limite(x→d-, f(x)) = f(d).
Autrement dit, une fonction est continue si son graphique ne présente aucune discontinuité. Pour de nombreuses fonctions, il est facile de déterminer où elle n'est pas continue. Les fonctions ne sont pas continues lorsqu'on a des opérations comme la division par zéro ou le logarithme de zéro .
On dit que f est prolongeable par continuité en x0 s'il existe une fonction g : D ∪ {x0} → R continue en x0 telle que g|D = f. Proposition 2.2.6. Soit f : D → R une fonction, et soit x0 ∈ D\D. Alors f est prolongeable par continuité en x0 si et seulement si f admet une limite (finie) en x0.
Le théorème des valeurs intermédiaires est le résultat suivant : Théorème : Soit f:[a,b]→R f : [ a , b ] → R une fonction continue, vérifiant f(a)≤0 f ( a ) ≤ 0 et f(b)≥0 f ( b ) ≥ 0 . Alors il existe c∈[a,b] c ∈ [ a , b ] vérifiant f(c)=0 f ( c ) = 0 .
Une fonction est dérivable s'il existe une dérivée en un certain point de son domaine de définition. Une fonction est continue s'il n'existe aucune discontinuité sur l'ensemble de son domaine de définition .
Pour vérifier la continuité électrique, une des bornes enverra un léger courant électrique et mesurera ce qui arrive à l'autre extrémité. Si l'écran du multimètre affiche une valeur proche de 0, cela signifie que la continuité du courant est effective et que l'élément testé fonctionne.
Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a, b] s'il existe une subdivision σ : a = a0 < … < an = b telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai, ai + 1[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [ai, ai + 1].
Propriété fondamentale des fonctions continues
On considère un intervalle I et deux nombres réels a et b appartenant à I. Soit f une fonction continue sur I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Intuitivement, une fonction est continue si on peut la tracer sans lever le crayon ; c’est une ligne continue. Si l’on doit lever le crayon pour combler un trou ou une discontinuité, alors la fonction est discontinue .
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé et borné [a, b]. Alors f est absolument continue sur [a, b] si et seulement si la famille des fonctions aux différences divisées {Dhf}0<h≤1 est uniformément intégrable sur [a, b] . Démonstration. |Dhf| dx < δ dès que A ⊂ [a, b] a une mesure m(A) < δ.
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
La fonction f ◦g est la fonction définie par (f ◦g)(x) = f ¡g(x)¢. Remarque : Il faut faire attention aux ensembles de définition. Par exemple p ◦(x +1) (c'est-à-dire px +1) n'est pas définie pour les x < −1. +1 = x +1 alors que (f ◦g)(x) = px2 +1.
Pour démontrer la continuité d'une fonction, il faut prouver que les trois conditions mentionnées précédemment sont remplies. Il faut montrer qu'une fonction admet une valeur de y pour une valeur de x donnée. Il faut également montrer que la limite existe. Pour ce faire, il faut démontrer que les limites à gauche et à droite sont égales .
En résumé : pour qu’une fonction soit continue en un point, elle doit être définie en ce point, sa limite doit exister en ce point, et la valeur de la fonction en ce point doit être égale à la valeur de sa limite en ce point . Les discontinuités peuvent être classées en discontinuités éliminables, discontinues par saut ou discontinues infinies.
Qu'est-ce qu'un exemple de fonction discontinue ? La fonction f(x) = 1/x est discontinue lorsque x = 0. Alors que la fonction est définie en tous les autres points, il n'existe aucune valeur possible pour f(0) = 1/0.
Les données continues, contrairement aux données discrètes, sont mesurables. Elles peuvent être décomposées en fractions ou en décimales. Par exemple, la taille d'une personne et la température sont des données continues.
Une fonction discrète est une fonction qui prend des valeurs distinctes et séparées. Une fonction continue, en revanche, est une fonction qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un certain intervalle . Les fonctions discrètes sont représentées graphiquement par des nuages de points, tandis que les fonctions continues sont représentées graphiquement par des droites ou des courbes.
On peut tracer un cercle sans lever le stylo du papier. C'est ce que l'on entend par « ligne courbe continue » . Un cercle possède la propriété particulière d'avoir un centre à l'intérieur, équidistant de tous les points de sa circonférence.