f est injective si et seulement si pour tout élément y de F, l'équation f (x) = y a au plus une solution (et éventuellement aucune) dans E. f est surjective si et seulement si pour tout élément y de F, l'équation f (x) = y a au moins une solution dans E. ∀x, y ∈ I x < y =⇒ f (y) < f (x).
On dit qu'une fonction f est bijective si elle est injective et surjective. Exemples : f:R→R:x↦3x est bijective. f:Z→Z:z↦3z n'est pas bijective car elle n'est pas surjective.
Théorème de la bijection entre segments — Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b] et à valeurs réelles, alors elle constitue une bijection entre [a, b] et l'intervalle fermé dont les bornes sont f(a) et f(b).
On dit que f est surjective de E SUR F ou que c'est une surjection de E SUR F si : ∀y ∈ F, ∃ x ∈ E, y = f (x), ce qui revient à dire que l'image de f est égale à F : f (E) = F, ou encore que tout élément de F possède AU MOINS un antécédent dans E par f .
Comme 𝑓 ( − 1 ) = 𝑓 ( 1 ) , 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 n'est pas injective. On rappelle qu'une fonction 𝑓 est injective si les conditions 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) et 𝑥 et 𝑥 appartiennent à l'ensemble de définition de 𝑓 impliquent que 𝑥 = 𝑥 .
Pour montrer que f n'est pas injective, il suffit de trouver deux éléments distincts x et x de E tels que f(x) = f(x ). Pour montrer que f n'est pas surjective, il suffit de trouver un élément y de F qui n'a aucun antécédent. Soit u : R −→ R+ l'application telle que u(x)=0si x < −1 et u(x) = x + 1 si x ⩾ −1.
En mathématiques, une surjection ou application surjective est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est image d'au moins un élément de l'ensemble de départ. Il est équivalent de dire que l'ensemble image est égal à l'ensemble d'arrivée.
Soient I et J deux intervalles et f une fonction définie sur I, on dit que f réalise une bijection de I sur J si : pour tout réel x de I, le réel f(x) appartient à J. pour tout réel m de J, l'équation f(x) = m admet une seule solution ( tout réel m de J admet un seul antécédent sur I)
Une application linéaire f ∈ L (E,F) est bijective si et seulement si M(f)ei,fj est inversible. De plus, M(f−1)fj ,ei = (M(f)ei,fj )−1 .
Une injection est une application qui envoie deux éléments distincts quelconques sur deux images distinctes. On parle aussi d'application injective. Une application f d'un ensemble E vers un ensemble F est injective lorsque deux éléments quelconques de E ayant même image, sont égaux.
On va déterminer la réciproque par intervalles. Remarquons d'abord que f f définit une bijection de ]−∞;1[ ] − ∞ ; 1 [ dans ]−∞;1[ ] − ∞ ; 1 [ par la formule f(x)=x f ( x ) = x . La bijection réciproque est donnée par f−1(y)=y f − 1 ( y ) = y .
Pour montrer qu'un endomorphisme f ∈ L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).
D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.
Si f(u) = 0 alors les coordonnées de f(u) sont nulles : x1 = ··· = xn = 0, donc on a aussi u = 0. Par conséquent, Kerf = {0} et par un théor`eme vuprécédemment f est injective. L'application linéaire f est surjective et injective, donc c'est un isomorphisme.
Une bijection affine (qui est un cas particulier de transformation géométrique) envoie les sous-espaces affines, comme les points, les droites ou les plans, sur le même type d'objet géométrique, tout en préservant la notion de parallélisme.
u est surjective si et seulement si (fi)i∈I ( f i ) i ∈ I est une famille génératrice de F ; u est bijective si et seulement si (fi)i∈I ( f i ) i ∈ I est une base de F .
Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax , où a étant un nombre quelconque donné. a est appelé le coefficient de la fonction linéaire. On notera cette fonction de manière équivalente : ou f : x → ax ou f(x) = ax.
De façon générale, une fonction f dont l'ensemble de départ est A et l'ensemble d'arrivée B admet une réciproque si à tout élément de l'ensemble A correspond un unique élément de l'ensemble B, et si tout élément de l'ensemble B est l'image d'un unique élément de l'ensemble A. On dit que f est une bijection de A sur B.
La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y . Elle se note f−1 . On obtient le graphique d'une réciproque en faisant subir à notre fonction une réflexion par rapport à l'axe y=x .
dom f−1=ima f et ima f−1=dom f. Afin de trouver la règle de la fonction réciproque de f, il suffit de poser x=f(y) et d'isoler la variable y.
si y = 0 et h(0) = 0. Donc g est une bijection. avec f(−1) = −1 et f(1) = 1. Donc la restriction de f, appelée g : [−1,1] −→ [−1,1], est une bijection.
Si la fonction f est continue sur I et si fs est continue en a alors f est dérivable en a. Pour une fonction continue sur I, l'existence d'une dérivée symétrique positive suffit pour affirmer que f est croissante et l'existence d'une dérivée symétrique constamment nulle suffit pour prouver que f est constante.
Points clés
La dérivée d'une fonction en 𝑥 = 𝑥 est définie par l i m → 𝑓 ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ( 𝑥 ) ℎ . Une autre définition équivalente de la dérivée est l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 − 𝑥 . Une fonction n'est pas dérivable lorsque cette limite n'existe pas.
La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
la courbe admet deux demi-tangentes en 0.
Soit une application linéaire du vectoriel dans le vectoriel , l'application est surjective si et seulement si son image est égale à l'espace . l'application est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul.