Si de plus g(a)≠0 g ( a ) ≠ 0 , alors f/g est dérivable en a et (fg)′(a)=f′(a)g(a)−f(a)g′(a)(g(a))2.
Une fonction continue est une fonction dont le graphique est une courbe unique et continue. Une fonction discontinue est donc une fonction qui n'est pas continue. Une fonction est dérivable si elle possède une dérivée . On peut considérer la dérivée d'une fonction comme sa pente.
La dérivée, 𝑓 ′ ( 𝑥 ) est positive lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des 𝑥 , et est négative lorsque la courbe est sous l'axe des 𝑥 . Lorsque 𝑥 ∈ ] 1 ; 5 [ , on a 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 , donc la pente de la courbe représentative de 𝑓 ( 𝑥 ) est positive.
Règles des graphes dérivés
Si la pente de f(x) est négative, alors la courbe de f'(x) se situe en dessous de l'axe des abscisses . Si la pente de f(x) est positive, alors la courbe de f'(x) se situe au-dessus de l'axe des abscisses. Tous les extrema relatifs de f(x) correspondent aux abscisses à l'origine de f'(x).
On repère si la courbe représentant l'évolution de l'accélération au cours du temps est une droite. Si l'accélération reste nulle, la vitesse est constante et le mouvement est uniforme (rectiligne ou circulaire ou curviligne).
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
Exemple de fonction possédant une dérivée continue :
La dérivée de f(x) = x² est f′(x) = 2x (d'après la règle de la puissance). Cette dérivée satisfait aux deux conditions de continuité : la fonction initiale est dérivable (on a calculé sa dérivée, 2x), et la fonction linéaire f(x) = 2x est continue.
Si la pente change en un point (voir f(x) = |x| par exemple), la fonction n'est pas dérivable. De plus, si une fonction n'est pas continue en un point, elle n'est pas dérivable.
Alors f+g et fg sont dérivables, et (f+g)′=f′+g′ ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ (fg)′=f′g+fg′.
Pour prouver la différentiabilité sur un intervalle, on montre généralement que la fonction est continue sur l'intervalle, puis on démontre que sa dérivée existe sur l'intervalle .
(20.8a) Montrez que f(z) = Re z n'est pas dérivable pour tout z en démontrant que la limite dans la définition de la dérivée n'existe pas. Si l'on fait tendre ∆z vers 0 le long de la droite (∆x, 0), la limite est 1. Le long de la droite (0, ∆y), la limite est 0. Puisque les résultats sont différents, la limite n'existe pas et f n'est pas dérivable .
La dérivée d'une fonction peut être trouvée en utilisant la règle de puissance, qui énonce que si une fonction est de la forme f(x) = xn, alors sa dérivée est donnée par f'(x) = n × xn-1. Ainsi, pour déterminer la dérivée de f(x) = x3, on applique la règle de puissance avec n = 3. Donc la dérivée de x3 est 3x2.
Solution. Si une fonction définie par morceaux est dérivable, alors elle est nécessairement continue . Pour que f(x) satisfasse les conditions de continuité en x=1, il faut que f(1) et lim f(x→1) existent et soient confondus.
Pour illustrer cette relation, considérons une fonction f(x). Si sa dérivée f'(x) est positive sur un intervalle, la fonction est croissante. Si la dérivée est négative, la fonction décroît. À un point où la dérivée est nulle, la fonction peut atteindre un maximum ou un minimum.
Notation : on note f ' la fonction dérivée de f. Exemple d'utilisation : pour définie sur , sa fonction dérivée est car la dérivée de x2 est 2x (comme on a 3x2, on multiplie 2x par 3) et la dérivée de x est 1 (que l'on multiplie par -2).
La dérivabilité s'apprécie soit en un point, soit sur un intervalle. Une fonction est dérivable en un point si elle admet une dérivée finie en ce point. C'est ce que nous illustrerons ici. Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de cet intervalle.
Règles pour les fonctions différentiables
(f - g)' = f' - g' (fg)' = f'g + fg' (f/g)' = (f'g - fg')/f .
On dit que f est deux fois dérivable en a si f0 est dérivable en a. La dérivée de f0 en a s'appelle la dérivée seconde de f en a et se note f00(a). On dit que f est deux fois dérivable si f0 est dérivable. On définit par récurrence la k-dérivabilité d'une fonction f.
Déterminez la nature de la courbe à l'aide des abscisses d'une table de valeurs naturelles afin de définir sa forme à gauche et à droite des points stationnaires . Remplacez les abscisses des points stationnaires dans l'équation initiale de la courbe pour trouver leurs abscisses.
La tendance générale : Pour cela, reliez virtuellement ( ou à l'aide de pointillés discrets) les 2 extrémités de la courbe. Si votre regard monte, elle est CROISSANTE. A l'inverse, si votre regard descend, elle est DECROISSANTE. Enfin, si les deux extrémités sont identiques, elle est STABLE.
La courbe de Gauss impliquerait que la moyenne soit de 70 % (ou 75 %), ce qui correspond à un C ou à une note moyenne . En pratique, cela signifie généralement que l'enseignant calcule la moyenne des notes et y ajoute X points pour obtenir 70 (ou 75). La valeur de X est ensuite ajoutée à la note de chaque élève.