La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.
Une fonction est dite concave sur un intervalle si, pour toute paire de points sur le graphe de , le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de . Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut.
Pour retenir comment est la forme d'une courbe concave je dis à mes étudiants: "concave = tournée vers la cave". Un d'eux lève alors le doigt pour me demander: "et pour convexe, vous n'avez rien?"
Une fonction f est convexe lorsque sa courbe représentative se trouve au-dessus de ses tangentes, et concave lorsque sa courbe représentative se trouve en dessous de ses tangentes.
La différence entre Concave et Convexe
Concave et convexe signifient arrondi, concave étant l'arrondi à l'intérieur et convexe l'arrondi à l'extérieur.
Un moyen très simple de comprendre la différence entre concave et convexe est de prendre une cuillère à soupe. Le côté qui sert de récipient est concave. Si l'on regarde son propre reflet dedans, on paraît plus gros. Le côté qui ne sert pas de récipient est convexe.
Définition de concave
Qui présente une surface courbe en creux (s'oppose à convexe).
On démontre qu'une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est décroissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.
Un polygone non convexe (voir aussi non-convexe), concave ou rentrant, désigne un polygone simple ayant au moins un angle rentrant intérieur, c'est-à-dire un angle dont la mesure se situe entre 180 et 360 degrés.
On distingue les polygones convexes des polygones non convexes selon la mesure de leurs angles intérieurs. Un polygone est convexe si tous ses angles intérieurs ont une mesure inférieure à 180∘. 180∘. Tous les polygones réguliers sont des polygones convexes.
1. Qui présente une courbure sphérique en relief ; qui est arrondi en dehors : Miroirs convexes. 2. Se dit d'un ensemble ponctuel E (différent d'une courbe) tel que tout segment ayant ses extrémités dans E est entièrement inclus dans E.
Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A, B] qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.
A retenir : a est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en a. Si la dérivée première s'annule en changeant de signe en a, alors a est l'abscisse d'un extremum.
Pour tout réel x > 0, (lnx)' = 1 x . (lnx)'' = − 1 x2 < 0 donc la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. On peut justifier ces résultats par symétrie de la courbe représentative de la fonction exponentielle.
si elle est nulle, la courbe est localement rectiligne ; si la dérivée seconde s'annule et change de signe, on a un point d'inflexion, la courbure de la courbe s'inverse.
Pour déterminer les abscisses des extremums d'une fonction, on cherche les points où la dérivée s'annule en changeant de signe. Pour déterminer les abscisses des points d'inflexion de sa courbe, on cherche les points où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.
De plus, il convient de mentionner que le triangle est le seul polygone toujours convexe car ses angles intérieurs doivent totaliser 180º. L'opposé d'un polygone concave est un polygone convexe, où au moins un des angles intérieurs est supérieur à 180º.
Quadrilatère convexe
Un quadrilatère est convexe si et seulement si, quel que soit le côté que l'on choisit, le quadrilatère est entièrement inclus dans un demi-plan dont la frontière porte ce côté. Cette caractérisation est générale à tout polygone convexe.
Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
En mathématiques, et plus précisément en analyse et en géométrie différentielle, un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité d'une courbe plane. En un tel point, la tangente traverse la courbe.
La dérivée d'une fonction permet : De calculer le coefficient directeur et donc l'équation d'une tangente. De déterminer, avant de faire un graphique, les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
Lorsque la dérivée seconde de la fonction change de signe, la fonction ? a un point d'inflexion et sa courbe, jusqu'alors sous ses tangentes, passe au-dessus de ses tangentes. Ainsi, on peut utiliser les courbes d'équations ? = ? ′ ( ? ) et ? = ? ′ ′ ( ? ) pour déduire des informations sur la fonction ? .
En physique, le principal contraire de concave est l'adjectif convexe . Ce mot qualifie donc ce qui est courbe mais avec une forme bombée. Un miroir peut être concave ou convexe.
CONVEXE, adj. Dont la surface présente à l'extérieur une courbure sphérique. Lentille, verre, miroir, surface convexe.
Si une fonction est décroissante et dérivable sur un intervalle alors sa dérivée est négative sur cet intervalle. Si une fonction est constante et dérivable sur un intervalle alors sa dérivée est nulle sur cet intervalle.