Dans le cas non linéaire, le point d'équilibre 0 est stable localement puisque à partir de toutes conditions initiales proche de 0 (appartenant à une boucle fermée dans l'espace topologique autour de 0) la solution converge vers 0, mais le système est instable autour de 1 puisque la trajectoire tend vers 0 sauf pour x0 ...
Re : Fonction affine non linéaire
Les fonctions linéaires sont de la forme f(x) = ax. Les fonctions affines de la forme f(x) = ax + b. Donc si b =/=0 la fonction affine n'est pas linéaire.
Relatif à ce qui n'est pas linéaire, c'est-à-dire dont la variation ne peut pas être représentée par une ligne droite. Exemple : Une fonction non-linéaire n'est pas une fonction du premier degré.
Système linéaire : Un système est dit linéaire si la fonction qui décrit son comportement est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors les principes de proportionnalité et de superposition : Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors λ x s(t) est la réponse à l'entrée λ x e(t).
Enfin, si f est deux fois différentiable en x ∈ E, on a besoin d'une base de E pour définir la matrice hessienne en x, et cette matrice hessienne dépend de la base choisie. g(x)=0 si et seulement si f(x) = x. Résoudre le système non linéaire (2.1) revient donc à trouver un point fixe de f.
— Une fonction de Lyapunov est une fonction continue W : Rn → R+ telle que W(x) ≥ 1 et limW(x)|x|to∞ = +∞. En partic- ulier les ensembles de niveau {x : W(x) ≤ a} sont compacts. Alors il y a existence globale des solutions, pour tout point de départ, et Ex [W(Xt)] ≤ ectW(x).
Commençons d'abord par résoudre l'équation y′=y−x y ′ = y − x . L'équation homogène admet pour solutions les fonctions x↦Cex x ↦ C e x , et une solution particulière est la fonction x↦x+1 x ↦ x + 1 . L'ensemble des solutions de cette équation est donc constituée des fonctions x↦Cex+(x+1).
La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent. ⎝ 2x + 3y + z = 1 −7y + 7z = 1 −7y − 3z = −2. on résout le syst`eme dérivé (par combinaison linéaire) et on conclut avec l'équation facile.
La résolution d'un système d'équations linéaires consiste à déterminer les coordonnées du ou des points de rencontre entre les droites décrites par les équations. La résolution d'un système d'équations à deux variables consiste à trouver le point de rencontre entre les équations.
Si tous les coefficients aij sont nuls, et si l'un au moins des bi est non nul, alors le système n'admet pas de solution : S = ∅.
Donc : toute fonction linéaire est aussi une fonction affine. * Si a = 0, l'expression devient : f (x) = b . On obtient alors une fonction constante. Donc : toute fonction constante est aussi une fonction affine.
b) Les points tendent à former une courbe au lieu d'une ligne droite. Les points du milieu sont tous sous la droite, et les points extrêmes sont au-dessus. Il s'agit d'une fonction non affine.
La fonction OU est couramment utilisée pour développer l'utilité d'autres fonctions qui effectuent des tests logiques. Par exemple, la fonction SI effectue un test logique, puis renvoie une valeur si le résultat du test est VRAI, et une autre valeur si le résultat du test est FAUX.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; b). Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite.
Une fonction affine représentée par une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. Lorsque b = 0, il s'agit d'une fonction linéaire qui est représentée par une droite passant par l'origine du repère. Lorsque a = 0, on parle de fonction constante qui est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. On dit que l'équation de la droite est : y = ax. a est aussi appelé le coefficient directeur de cette droite.
Le système ( S ) est compatible s'il admet au moins une solution ; sinon, ( S ) est dit incompatible ; On dit que S est un système homogène si le second membre b est nul ; Le système linéaire obtenu lorsqu'on remplace dans ( S ) le n-uplet b par le n-uplet ( 0 , … , 0 ) s'appelle le système homogène associé à ( S ) .
La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : échange de deux lignes. multiplication d'une ligne par un nombre non nul.
Un système d'équations linéaires est dit homogène si le membre de droite du système est le vecteur nul. Il est dit inhomogène s'il n'est pas homogène. Remarque: Un système homogène possède toujours au moins une solution, la solution x = 0.
Ce savant allemand du XVIIIe siècle est surtout connu pour ses travaux de théorie des nombres qui lui valent une admiration universelle et une influence vivace.
Résoudre le problème de Cauchy : y (t) = y(t)(y(t) − 1)(t + 1), y(0) = 2 4 Page 5 Solution. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence d'une unique solution au voisinage de la condition initiale (0,2). Pour calculer cette solution on procède par separation des variables.
Solution maximale : une solution locale (J, x) est dite maximale si elle n'a pas d'autre prolongement qu'elle même ; Solution globale : une solution locale (J, x) est dite globale si elle est définie partout, i.e. si I = J.
Avec cette notation matricielle, le système différentiel (S) devient : X (t) = AX(t). Résoudre le système linéaire X = AX, avec A ∈ Mn() (ou A ∈ Mn()) une matrice constante, c'est donc trouver X(t) dérivable (c'est-à-dire n fonctions x1(t),..., xn(t) dérivables) tel que X (t) = AX(t), pour tout t ∈ . Remarque.