On dit qu'un polynôme P est irréductible sur A[X], s'il est non nul, non inversible dans A[X] et que toute réduction P = QR où Q, R ∈ A[X] implique que soit Q, soit R est inversible. On notera c(P) le contenu de P, autrement dit le pgcd des coefficients de P.
Si le degré de est égal à 1, est irréductible et il y a un seul polynôme unitaire irréductible le divisant, à savoir le polynôme 1 λ P = P 1 où est le coefficient dominant de . On a donc P = λ P 1 . Soit r un entier supérieur ou égal à 2.
Définition II. 2.1. On dit qu'un polynôme f non constant `a coefficients dans un corps K est irréductible (sur K) s'il ne peut se décomposer en produit de facteurs de degré strictement inférieur `a celui de f (`a coefficients dans K).
Définition 6 : On dit qu'un polynôme P est factorisable par (x − a) s'il existe un polynôme Q tel que pour tout x réel : P(x) = (x −a)Q(x) .
On dit que a est racine d'ordre r de A s'il existe un polynôme Q tel que A = (X a)rQ avec Q(a) 6= 0. Autrement dit, a est racine d'ordre r de A si A est divisible par (X a)r mais pas par (X a)r+1. Une racine est dite simple si elle est d'ordre 1, double si elle est d'ordre 2,. . .
Une racine évidente est un nombre simple dont on calcule rapidement l'image par la fonction polynôme, cette image doit être 0. Une racine évidente obtenue, on trouve facilement l'autre racine par identification des coefficients de la fonction polynôme.
Définition : Discriminant d'une équation du second degré Si Δ est strictement positif, alors il y a deux solutions réelles à l'équation du second degré. Si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle (répétée). Et si Δ est strictement négatif, alors il n'y a pas de solutions réelles.
Si Δ < 0 , alors l'équation f(x)=0 n'admet aucune solution réelle. f ne peut pas s'écrire sous forme factorisée. Si Δ = 0 , alors l'équation f(x)=0 admet une unique solution x0=-b2a . Si Δ > 0 , alors l'équation f(x)=0 a deux solutions x1=-b-√Δ2a et x2=-b+√Δ2a.
Formule. k × A + k × B = k × (A + B). Pour réussir à factoriser, il faut donc identifier le facteur commun k, puis A et B. Ensuite, il faut remplacer les valeurs trouvées dans la formule.
Définition. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun (autre que 1). Pour rendre irréductible une fraction, on simplifie le numérateur et le dénominateur par leur(s) diviseur(s) commun(s).
Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemple 1 : 12 et 35 sont deux nombres premiers entre eux.
Pour cela, on utilise le tableau de Horner : On commence par reporter les coefficients du polynôme (1) dans la première ligne dans l'ordre des exposants décroissants. On place la racine évidente dans la case de gauche sur la deuxième ligne. On reporte le premier coefficient dans la première case de la troisième ligne.
Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, y compris le coefficient constant.
Définition des polynômes premiers entre eux
On dit que deux polynômes non tous deux nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
La méthode de Horner est, la plupart du temps, utilisée à des fins de factorisation. On vérifie si un polynôme est divisible par x−a. Si ce n'est pas le cas, que le reste n'est pas nul et vaut R, il peut sembler superflu d'avoir effectué ce travail pour rien; le mieux qu'on puisse faire est d'écrire: P(x)=Q(x).
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.
La règle de Horner ne peut être utilisée que lorsque le diviseur est un polynôme du premier degré. Par exemple, divisons 2x4−18x2+2x+5 par x+3.
"Le rhésus est dit positif quand l'antigène D est présent sur les globules rouges et il est négatif lorsque les globules rouges n'ont pas cet antigène. La majeure partie de la population possède l'antigène D ; en France, seulement 15% des personnes sont rhésus négatif.
x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0. On a alors : x0 = −b / (2a).
Calcul du discriminant : ∆ = b2 −4ac = ( √2)2 −4(1)(1) = −2. Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe de a", c'est à dire toujours positif car a = 1.
On peut remarquer que √0=0, √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, …
Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A, égal à b2 − 4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est : ∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60. En effet, a = 3, b = -6 et c = -2. Propriété : Soit A le discriminant du trinôme ax2 + bx + c .
+ β , où α et β sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
Trouver une racine évidente, c'est remarquer son existence sans faire le moindre calcul : exception en mathématiques, cette notion n'est pas strictement définie ! Soit par exemple l'équation x2+2x−3=0. x 2 + 2 x − 3 = 0.