Un point A, de coordonnées ( XA, YA, ZA), appartiendra au plan P si les coordonnées de ce point vérifient l'équation du plan. → on remplace x, y et z par les coordonnées du point A et on doit obtenir un résultat égal à 0. Exemples a) Le point A (3; 2; 4) appartient-il au plan P d'équation 5x - 6y+z70 ?
Pour déterminer lequel de ces points appartient au plan donné, il faut substituer les valeurs de x, y et z associées à ces points dans l'équation du plan . Si le membre de gauche de cette équation est égal à zéro, alors le point appartient bien au plan.
La distance entre un point et un plan est la distance perpendiculaire la plus courte entre ce point et le plan donné. Autrement dit, la distance la plus courte entre un point et un plan est la longueur de la perpendiculaire parallèle au vecteur normal abaissée de ce point sur le plan donné .
En mathématiques, un plan est un espace bidimensionnel ou une surface plane qui s'étend indéfiniment. Un plan est l'équivalent bidimensionnel d'un point (dimension zéro) , d'une droite (une dimension) et d'un espace tridimensionnel.
Détermination d'un plan par un point et un vecteur normal
On note le plan passant par et perpendiculaire à . On peut trouver une équation de en exprimant qu'un point quelconque M ( x , y , z ) appartient à si et seulement si le vecteur A M → est orthogonal à , c'est-à-dire si et seulement si.
Trouver un point P0 dans le plan est simple. Il suffit de repérer l'intersection du plan avec l'un des axes de coordonnées . Par exemple : posons y = 0 et z = 0, puis trouvons x à partir de l'équation du plan : 2x = 3, soit x = 3/2. Par conséquent, P0 = (3/2, 0, 0).
Comment placer un point dans le plan repéré ?
Un point du plan est défini comme une paire ordonnée, , telle que x est déterminé par sa distance horizontale par rapport à l'origine et y est déterminé par sa distance verticale par rapport à l'origine .
Si z0>ax0+by0+d alors p est au-dessus, sinon il est soit en dessous, soit sur le plan (en cas d'égalité).
le point O est l'origine du repère ; la droite orientée (OI) est l'axe des abscisses et la distance OI donne l'unité sur cet axe ; la droite orientée (OJ) est l'axe des ordonnées et la distance OJ donne l'unité sur cet axe.
Méthode utilisant l'appartenance des trois points A, B et C
donc : -3a + b + c + d = 0. Exprimons les variables a, b, c et d en fonction d'une par exemple a : on "retombe" bien sur la même équation ou sur une équation dont les coefficients sont proportionnels à ceux trouvés dans la première méthode.
Un point A, de coordonnées ( XA, YA, ZA), appartiendra au plan P si les coordonnées de ce point vérifient l'équation du plan. → on remplace x, y et z par les coordonnées du point A et on doit obtenir un résultat égal à 0. Exemples a) Le point A (3; 2; 4) appartient-il au plan P d'équation 5x - 6y+z70 ?
Les coordonnées d'un point A, se présentent sous la forme A (x ; y), avec x la valeur correspondant à l'axe des abscisses et y la valeur correspondant à l'axe des ordonnées. (xb – xa ; yb – ya).
Pour savoir si la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC): On regarde si le point M appartient au plan (ABC) en appliquant la méthode "A appartient à un plan". Puis on refait pareil avec le point N. Si les 2 points M et N appartiennent au plan (ABC), alors la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC).
Quels sont les différents types de plans ?
Caractérisation d'un plan
Le plan est alors l'ensemble des points M de l'espace vérifiant A M → = x u → + y v → , x , y ∈ R . On dit alors que les vecteurs et dirigent le plan. Tout vecteur du plan peut s'écrire comme combinaison x u → + y v → , x , y ∈ R . (A, , ) définissent un repère de ce plan.