a) Lorsque le crochet entour le nombre, on dit qu'il est fermé, dans le cas contraire on dit qu'il est ouvert. Par exemple, [2;3[ est fermé en 2 (mais ouvert en 3), cela veut dire qu'il contient 2 mais pas 3 ! ] 2;3] est fermé en 3 (mais ouvert en 2), cela veut dire qu'il contient 3 mais pas 2.
On peut représenter sur une droite l'ensemble de tous les nombres x tels que : −1 ⩽ x ⩽ 4. Autrement dit, x vérifie à la fois les deux inégalités x ⩾ −1 et x ⩽ 4. Cet ensemble est appelé intervalle : il est noté [−1 ; 4]. Il contient tous les réels compris entre −1 et 4 (bornes comprises).
Dans ℝ, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de ℝ définis par des inégalités strictes. De plus, les ouverts de ℝ sont les réunions au plus dénombrables d'intervalles ouverts non vides disjoints.
∅ et ℝ sont fermés. Tout intervalle fermé est un ensemble fermé. Toute réunion finie de fermés est encore est encore un fermé. L'intersection d'une famille quelconque (même infinie) de fermés est encore un fermé.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
Intervalles majeurs ou mineurs
Ces intervalles seront qualifiés de majeurs s'ils appartiennent à la gamme majeure et de mineurs s'ils sont issus de la gamme mineure. Par exemple, sur la gamme majeure, l'intervalle de tierce entre do et mi est plus grand que sur la gamme mineure, car il y a un bémol sur le mi.
L'union est commutative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A et B quelconques, on a : A ∪ B = B ∪ A. L'intersection est distributive sur l'union, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Définition d'une échelle d'intervalle
Une échelle d'intervalle désigne toute plage de valeurs ayant une différence mathématique significative, mais pas de zéro absolu.
Un intervalle est ouvert lorsque les valeurs qui l'encadrent ne sont pas incluses dans l'intervalle. Il se présente avec les crochets vers l'extérieur.
Définition 1 : Un intervalle de R est l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux réels a et b où a et inférieur à b. Remarque 1 : Selon que l'on prenne (ou non) le nombre a, on dira que l'intervalle est fermé (ouvert) du côté de a.
On récapitule ! Variables qualitatives ou catégorielles expriment une qualité comme le sexe, le métier ou le nom. Nominales, comme par exemple le nom des journaux, le signe astrologique. Ordinales, désigne le rang : un peu, moyen, beaucoup, énormément, à la folie !
L'échelle ordinale est similaire à l'échelle nominale exceptée qu'elle permet d'établir une relation d'ordre entre les éléments d'un ensemble, sans toutefois être capable d'évaluer de façon quantitative la distance qui les sépare.
A U B (l'union de A et B) est l'ensemble de nombres qui appartiennent soit à A soit à B (soit aux deux).
Intersection et Réunion : A ∩ B = "A inter B" se réalise quand les événements A ET B se réalisent ensemble ("simultanément") . A ∪ B = "A union B" se réalise quand l'événement A OU l'événement B se réalise (ou les 2). Propriété fondamentale : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Pour l'obtenir, il vous suffit de retirer un ton et demi à la valeur que vous avez défini auparavant. Par exemple : la tonalité que vous avez obtenue est Do Majeur (pas d'altérations à la clef). Si vous retirez un ton et demi, cela donne La mineur. En effet : Do - 1/2 ton = Si.
La quinte est le nom d'un intervalle de 5 notes. On parle de quinte « juste » lorsque les notes qui la constituent sont « altérées » de la même manière (l'altération est un signe qui modifie la hauteur de son, comme le dièse, le bécarre ou le bémol).
La tonalité est reconnaissable car l'autre nom de la partition est le prélude en Do majeur (ou Ut majeur). La tonalité est Do majeur. Facile ! Il faut retenir que si le nom d'une partition contient l'appellation d'une note (suivi de majeur ou mineur), ce nom est la tonalité du morceau.
Bien évidemment, dans Q, pour TOUTE topologie, Q est ouvert et fermé.
Pour tout r>0 la fonction f: x->r/2 est dans U, et d(f,0) = r/2 < r, ce qui est contradictoire. Remarque : Pour montrer que U n'est pas ouvert, on peut aussi montrer que le complémentaire de U n'est pas fermé, c'est à dire qu'il existe une suite d'éléments fn du complémentaire de U qui converge vers f appartenant à U.
On dit que U est un ouvert de E si l'une des assertions suivantes est vérifiée : i) Pour tout x∈U, il existe r>0 tel que la boule ouverte B(x,r)⊂U. ii) Pour tout x∈U, il existe r>0 tel que la boule fermée Bf(x,r)⊂U.
On distingue ainsi classiquement trois types de caractères observables, ou encore de variables : les variables nominales, les variables ordinales et les variables métriques.