Le théorème de la division euclidienne dans les entiers naturels (les nombres entiers pris à partir de 0) s'énonce ainsi. À deux entiers a ≥ 0 et b > 0, on associe de façon unique deux entiers naturels, le quotient q et le reste r, qui vérifient : a = b × q + r ; r < b.
Le résultat d'une division s'appelle le quotient. La division euclidienne donne un quotient entier et un reste • Le reste doit être inférieur au diviseur. La division décimale donne deux types de quotient.
Division euclidienne dans K [X] : opération permettant, pour deux polynômes A et B (B non nul), de déterminer le couple unique (Q,R) de polynômes vérifiant A = BQ + R, le degré de R étant strictement inférieur au degré de B.
Afin d'effectuer une division euclidienne quand le dividende et le diviseur sont exprimés en fonction de n, on recherche une mise en facteur du diviseur dans le dividende puis on discute de la valeur du quotient et du reste en fonction de n. Soit n\in \mathbb{N}.
Définition. Division euclidienne : Pour a et b deux nombres entiers (avec b différent de 0), effectuer la division euclidienne de a par b revient à trouver deux nombres entiers q et r qui vérifient l'égalité a = b × q + r a = b \times q + r a=b×q+r et que r < b r < b r<b.
Réponse. 1) Les nombres dont la division euclidienne par 4 donne un reste égal au quotient sont : Le 1, le diviseurs lui même ainsi que 0. 21 est un entier. Les nombres a possédant cette propriété sont appelé les nombres entiers.
Dans une division euclidienne, on s'arrête à cette étape (quand il n'y a plus de chiffre à abaisser). On dit qu'un nombre est divisible par un autre lorsque le reste de la division des deux nombres est égale à 0. Un nombre entier est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
Définition "Euclide"
n. prop. Mathématicien grec. Il a définit la géométrie (euclidienne).
Dans une division euclidienne, le produit du quotient et du diviseur plus le reste est égal au dividende, et le reste est un entier naturel strictement inférieur au diviseur.
Quels que soient a et b *, il existe un couple unique d'entiers naturels (q ; r ) tel que : a = bq + r et r < b. L'expression a = bq + r avec r < b s'appelle la formule de la division euclidienne, q est le quotient euclidien de a par b et r le reste dans la division euclidienne de a par b.
On commence la division par l'unité la plus grande, la plus à gauche. On se demande : « combien de fois le diviseur se trouve-t-il dans ce chiffre ? ». On écrit ensuite le résultat en dessous, sous le diviseur à droite, puis on va écrire ce qu'il reste sous le dividende à gauche.
N°7 page 14 a) 66 = 12×5+6 le quotient de 66 par 12 est 5 (le reste est bien inférieur au diviseur : 6 < 12).
Pour vérifier le résultat d'une division, il faut multiplier le quotient par le diviseur. On doit ainsi retrouver le dividende.
Réponse. Pour cette division, il reste 82.
Tous les restes possibles sont entre zéro et 14.
La division euclidienne de n par 4 s'écrit : n = 4k + r avec 0 ≤ r < 4 (k et r entiers naturels) Si n est impair les seuls restes possibles sont r = 1 ou r = 3 (car pour r = 0 ou r = 2, n est pair) Si n est un entier naturel impair, alors d'après la question précédente, on a : n = 4k + 1 ou n = 4k + 3 1er cas : n = 4k ...
L'algorithme d'Euclide, consiste à effectuer une suite de divisions euclidiennes : - On effectue la division euclidienne de a par b et on note r le reste. - Ensuite, b devient a et rdevient b comme sur le tableau ci-dessous; et on recommence: on effectue ladivision euclidienne de a par b et on note r le reste.
a. 6 1 11 ≡ . Comme 0 1 11 ≤ < , on en déduit finalement : Le reste de la division euclidienne de 10 6 par 11 est égal à 1.
Le nombre qui est divisé s'appelle le dividende ; Le nombre qui divise s'appelle le diviseur ; Le résultat de l'opération s'appelle le quotient.