Deux groupes sont dit isomorphes lorsqu'il existe un morphisme de groupes entre les deux qui est bijectif.
Deux espaces vectoriels sont isomorphes lorsqu'on peut trouver une application linéaire et bijective (un isomorphisme) de l'un vers l'autre. On peut considérer que deux espaces isomorphes sont identiques du point de vue de la structure d'espace vectoriel.
En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure. Plus généralement, en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse ».
f est un isomorphisme de groupes si f est une bijection. On prouve alors aussi que f−1 est un morphisme de groupes. f est un automorphisme de groupes si f est un isomorphisme et si G=G′ (même groupe au départ et à l'arrivée). Le noyau de f , noté kerf , est l'ensemble des x de G tels que f(x)=1G′ f ( x ) = 1 G ′ .
Il existe une autre technique, c'est de montrer qu'un sous-ensemble d'un groupe est lui-même un groupe : c'est la notion de sous-groupe. Soit (G,⋆) un groupe. Une partie H ⊂ G est un sous-groupe de G si : – e ∈ H, – pour tout x, y ∈ H, on a x⋆ y ∈ H, – pour tout x ∈ H, on a x−1 ∈ H.
L'ensemble des nombres entiers, muni de la multiplication (Z, ×), ne forme pas un groupe. La loi est bien interne, associative, et il existe un élément neutre (le nombre 1), mais pas d'inverse en général : par exemple, l'équation 3 · b = 1 n'admet pas de solution dans Z.
Soit f:E → F une application linéaire et soit A sa matrice dans les bases B et B . Alors l'application f est un isomorphisme si et seulement si la matrice A est inversible. De plus, si f est un isomorphisme alors A−1 est la matrice de f−1 dans les bases B et B.
Une fonction f:E→F f : E → F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, ou encore si pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) possède une unique solution. Si E et F sont des ensembles finis, E et F doivent alors avoir le même nombre d'éléments.
Soit G un groupe cyclique d'ordre p. q, où p et q sont deux entiers strictement positifs, alors il n'existe qu'un seul sous-groupe H d'ordre p et, si g est un élément générateur de G, alors gq est un élément générateur de H (qui est par conséquent cyclique).
Traditionnellement, et sans précision ou contexte particulier, une LCI est notée * comme ci-dessus ou F ("truc"). On peut également adopter un formalisme additif (la LCI est alors notée +) ou multiplicatif (× ou .). Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne *.
Définition 2.7 Si un morphisme de groupes f : G → G est bijectif, on dit que c'est un isomor- phisme. Si de plus G = G, on dit que f est un automorphisme de G.
Pour etre un sous groupe de Z/12Z, il faut que l'élément neutre de Z/12Z, + soit dans le sous groupe. Soit H ce sous groupe, on a donc cl(0) dans H. Il faut que chaque élément qui a un symétrique dans Z/12Z soit dans H. Avec le théorème de Lagrange on a que H est de cardinal 1,2,3,4,6 ou 12.
En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l' ...
En plus d'être défini comme une entité à l'intérieur de laquelle des individus se perçoivent comme membre et établissent des relations, un groupe présente des caractéristiques propres. Durables, les trois principales caractéristiques sont : la taille du groupe, le statut et le rôle de ses membres.
Si une opération * est définie dans un ensemble E, alors n est un élément neutre de l'opération * si et seulement si, quels que soient les éléments x de E, on a : x * n = x.
Si h◦g est bijective, elle est en particulier injective, donc g est injective (c'est le 1.). Par conséquent g est à la fois injective et surjective donc bijective. Pour finir f = g−1 ◦(g◦ f) est bijective comme composée d'applications bijectives, de même pour h.
On rappelle qu'une application f : E − → F est une bijection lorsque tout élément λ de F admet un et un seul antécédent c dans E (ou de manière équivalente, l'équation f (x) = λ admet une unique solution c dans E). bijection assure l'existence d'un unique c ∈ R tel que ec = λ.
1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
Exercice 2 Soit f ∈ L(E) telle que f3 = f2 + f, montrer que E = kerf ⊕ Imf. −→ y = f (−→x) ∈ Imf ∩kerf, il s'agit de prouver que −→ y = −→ 0 . Ainsi −→ y = −→ 0 . est bien la somme d'un élément de kerf et d'un élément de Imf.
Pour démontrer que Imf et kerf sont des sous-espaces supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul.
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x | f (x) = 0} = {x | Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 . {y (−1 1 ) | y ∈ R} = 〈 (−1 1 ) 〉. Donc une base est (−1 1 ) .
L'ensemble Z/nZ est donc muni de deux opérations, une addition et une multiplication, toutes deux commutatives et associatives, et telles que 1 Page 2 — La loi + admet un élément neutre, 0, tel que pour tout x ∈ Z/nZ, x + 0 = x; — Tout élément x de Z/nZ admet un opposé noté −x, tel que x + (−x) = 0 (celui-ci est unique ...
En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble Gδ (lire « G delta ») est une intersection dénombrable d'ensembles ouverts. utilisée dans la hiérarchie de Borel.
Un groupe abélien G est dit divisible lorsque pour tout entier n > 0, G = nG. Les archétypes en sont le groupe additif ℚ des nombres rationnels et les p-groupes de Prüfer.