L'équation logistique est l'équation différentielle suivante : N′(t)=aN(t)(1−bN(t)) N ′ ( t ) = a N ( t ) ( 1 − b N ( t ) ) où a et b sont deux réels positifs. Elle modélise l'évolution d'une population évoluant en milieu fermé.
Définition : Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle. f est une solution de l'équation différentielle.
Une équation différentielle particulièrement simple est l'équation y ′ = a y , où est une constante réelle. Elle modélise des situations très diverses, où la vitesse de variation d'une quantité est proportionnellle à cette quantité même : La taille d'une population ayant un taux d'accroissement constant.
Le principe est simple : l'accroissement de la population n'est proportionnel `a la population que pour les petites va- leurs de celle-ci. Lorsqu'elle croıt, des facteurs limitants apparaissent1 (place ou quantité de nourriture disponible, etc.) qui font qu'il y a une population maximale m.
Une suite numérique u permet de modéliser une variable discrète telle que l'effectif d'une population au temps n . La variation absolue d'une suite entre la période n et n + 1 est égale à u(n+1) - u(n) . Le taux de variation d'une suite entre la période n et n + 1 est égal à \dfrac{u(n+1) - u(n)}{u(n)} .
L'équation logistique est l'équation différentielle suivante : N′(t)=aN(t)(1−bN(t)) N ′ ( t ) = a N ( t ) ( 1 − b N ( t ) ) où a et b sont deux réels positifs. Elle modélise l'évolution d'une population évoluant en milieu fermé.
Le taux de natalité est le rapport du nombre de naissances vivantes de l'année à la population totale moyenne de l'année.
Ces équations différentielles sont utiles, car elles interviennent dans la modélisation de phénomènes très vastes allant de la dynamique des populations à la prédiction de la fonte des banquises. Elles sont impliquées dans beaucoup de phénomènes qui nous entourent comme la météo ou l'effet papillon.
Sujets Grand Oral mathématiques
Comment le raisonnement par récurrence a-t-il évolué au fil des siècles ? Par quelles méthodes peut-on donner une approximation d'un nombre réel en utilisant les suites ? Comment l'équation logistique permet-elle de modéliser l'évolution d'une population ?
Dans la croissance logistique, le taux de croissance d'une population par habitant devient de plus en plus petit à mesure que la taille de la population approche d'un maximum — connu sous le nom de capacité de charge ( K) — imposé par des ressources limitées dans l'environnement.
La fonction g est solution de l'équation différentielle y' = ay + b. Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b, où a et b sont deux réels et , sont les fonctions de la forme où u(x) est la solution particulière constante de l'équation y' = ay + b et v(x) est une solution quelconque de l'équation y' = ay.
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
Isaac Newton (1643 - 1727) développe la géométrie analytique et l'utilise en astronomie. Cette application est l'origine de l'utilisation du terme vecteur.
1,61803398875... Un livre tout entier consacré à un seul nombre ? Pourquoi celui-là plus qu'un autre ? Pourquoi porte-t-il des noms aussi prestigieux que le "nombre d'or" ou la "divine proportion" ?
Résoudre une équation, c'est trouver l'ensemble des solutions qui font que l'égalité est vraie. Donc rapidement dit, résoudre une équation c'est trouver la valeur de x qui la vérifie (c'est à dire qu'avec cette valeur de x, les deux membres sont égaux).
Le terme œquatio differentialis ou équation différentielle est apparu pour la première fois sous la plume de Leibniz1 en 1676 pour définir la relation entre les différentielles dx et dy des deux variables x et y.
Une équation différentielle dite "linéaire", dont la fonction recherchée est y et dont la variable est x, ne peut pas contenir de terme en y², ni (y')², ni exp(y), ni cos(y') par exemple. Cette équation "linéaire" peut contenir des termes tels que, par exemple : x², exp(x), cos(x), etc.
Le taux brut de natalité (TBN) représente le nombre de naissances pour 1 personne dans une population. Il se calcule en rapportant les naissances d'une année donnée à la population moyenne de cette année. On l'exprime pour 1000.
Définition. Le taux de fécondité à un âge donné (ou pour une tranche d'âges) est le nombre d'enfants nés vivants des femmes de cet âge au cours de l'année, rapporté à la population moyenne de l'année des femmes de même âge.
Il se calcule comme le rapport du solde naturel pendant une période à la population moyenne de cette période. Il est aussi égal à la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité.