En pratique, pour démontrer qu'une suite converge vers une limite "l" on choisit le plus souvent un intervalle centré sur "l", de la forme ] l - a ; l + a [ (où "a" est un réel positif) puis l'on motre que quel que soit la valeur de il existe un rang "n" à partir du quel l-a <un < l+a.
-a < ⇔ n + 1 > ⇔ n > - 1. Donc, si N est le plus petit entier tel que N > + 1, alors pour tout n ≥ N, un ∈ I. L'intervalle ]1 - a ; 1 + a[ contient tous les termes de la suite u à partir du rang N, donc la suite u admet pour limite I.
3/ Limite infinie d'une suite : définition
La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ]a ; [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ] ; a[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Une suite ne peut pas avoir deux limites distinctes. On procède par disjonction de cas. Si une suite tend vers +∞, elle est non majorée donc ne peut converger ni tendre vers −∞.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
Une condition suffisante pour la suite (un) converge est que la lim supn→∞ |un+1-un|1/n = q avec q<1.
Dire qu'une série diverge ne signifie pas que les sommes partielles tendent vers l'infini : Par exemple, la série de terme général un = (-1)n est divergente. En effet, S2n = 1 et S2n+1 = -1, les sommes partielles reste finies mais ne convergent pas.
Le joueur Epsilon indique quel écart maximum il accepte entre f(x) et l (c'est-à-dire qu'il impose |f(x)−l|<ε | f ( x ) − l | < ε , où ε>0 est choisi par lui).
On dit qu'une suite tend vers –∞ si tout intervalle de la forme ]–∞, A[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux.
Si q = −1, la suite oscille entre deux valeurs distinctes et n'a pas de limite. Si q < −1, |un| diverge vers +∞ (puisque c'est une suite géométrique de premier terme positif et de raison plus grande que 1), donc (un) n'est pas bornée et ne peut converger.
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
On dit qu'une suite (un)n≥k0 est bornée si ∃M ∈ R : n ≥ k0 =⇒ |un| ≤ M . Définition 3. On dit que l ∈ C est limite d'une suite complexe (un)n≥k0 si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : n ≥ n0 =⇒ |un − l| ≤ ε. Les suites possédant une limite l ∈ C sont dites convergentes et les autres divergentes.
, (caractère ∑) est une notation mathématique qui permet de désigner la somme d'une famille finie de termes ou la limite d'une série en évitant l'emploi de points de suspension.
Dans ce cas, la somme est égale au produit du terme constant par le nombre de termes de la somme. ∑ [constante] = [nombre de termes] × [constante] . ∑ [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 . Voici maintenant la même formule avec des symboles.
Somme simple
Le symbole Σ (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes.
Limite finie
Les termes de la suite s'accumulent autour d'une certaine valeur l de cet intervalle. Ce phénomène traduit la notion de limite finie. Limite finie : Dire qu'un réel l est limite d'une suite (un) signifie que tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement.
1. Situation de deux lignes, de deux rayons qui vont en s'écartant. 2. Différence, désaccord entre les opinions, les intérêts des personnes, des groupes ; opposition : Des divergences d'intérêts.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
Pour montrer que (Xn) converge en loi vers X, il suffit de démontrer que pour tout u ∈ Rk, on a E[eiu·Xn ] → E[eiu·Xn ] (théor`eme de Lévy, théor`eme 6.3.9 du poly).