Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Dérivabilité et continuité
Une fonction dérivable en a est nécessairement continue en a. La dérivabilité d'une fonction ne se cherche donc qu'en des points où la fonction est déjà continue. La réciproque de cette affirmation est fausse : il existe des fonctions continues en a mais non dérivables en ce point.
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon".
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 . f (x) = ax + b cx + d .
Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction dérivable et a ∈ I. On dit que f est deux fois dérivable en a si f est dérivable en a. La dérivée de f en a s'appelle la dérivée seconde de f en a et se note f (a). On dit que f est deux fois dérivable si f est dérivable.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
On peut aussi dire que si f est une fonction continue en a alors λf est continue en a ( λ étant un scalaire) , si f et g dont deux fonctions continues en a alors f+g est continue et fxg est continue , mais aussi si g(a) est non nulle alors f/g est continue en a.
Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles et soit D un sous ensemble de R2. On dit que f est continue sur (l'ensemble) D si et seulement si elle est continue en chacun des points de D. f + g est continue en (x0, y0). fg est continue en (x0, y0).
Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Si la fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points.
On dit qu'une fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 à gauche ou à droite respectivement.
En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. Tout d'abord, une fonction f est continue si à des variations infinitésimales de la variable x correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
La fonction f est continue en a si f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de f(a), en prenant x assez proche de a : f est continue en a⟺limx→af(x)=f(a), ce qui signifie aussi que pour tout réel strictement positif ε, il est possible déterminer un réel strictement positif δ tel que : |x−a|<δ⟹|f(x)−f(a)|<ε.
Le principe de continuité est un principe de philosophie naturelle. Il pose que, dans la nature, les choses changent de façon continue.
En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé. Une combinaison linéaire de fonctions intégrables est intégrable sur un intervalle quelconque.
Toute fonction continue sur un segment admet des primitives sur ce segment. En Terminale S, le théorème fondamental du calcul intégral entraîne que toute fonction continue et positive admet une primitive. Soit maintenant f:[a,b]→R f : [ a , b ] → R continue (et plus nécessairement positive).
Si f admet une limite finie en x0, notée l, on dit que f est prolongeable par continuité en x0 par la fonction: f : Df ∪ {x0} → R x ↦→ ∣ ∣ ∣ ∣ f(x) si x = x0 , l si x = x0 . La fonction f s'appelle le prolongement par continuité de f.
Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle quelconque si et seulement si elle l'est sur tout segment de cet intervalle. Remarques : ⊙ cela ne change rien si l'intervalle est un segment. ⊙ la fonction peut avoir une infinité de discontinuités, mais pas sur un segment.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
[f(g(x))]' =f'(g(x))&×g'(x). Cette formule permet par exemple de calculer la dérivée de f : x ↦ sin(x²) car f est la composée x ↦ x² suivie de x ↦ sin(x).