Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction ab, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).
Supposons par l'absurde que √2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme ab où a et b sont des nombres entiers relatifs. On a alors √2=ab. Écrivons √2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire).
Ensemble des nombres rationnels
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
Les nombres rationnels peuvent être représentés comme un quotient de deux nombres entiers. Ils sont exprimés sous la forme d'une fraction a / b, où a et b sont des nombres entiers et b est différent de zéro.
Nombre irrationnel : qu'est-ce que c'est ? Nombre qui ne s'exprime pas comme le quotient de deux nombres entiers. Ainsi, 2012, 3/2, -1/3, 1/100 sont rationnels alors que la racine carré de 2 ou Pi sont irrationnels.
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction de deux entiers relatifs. Les nombres qui ne sont pas irrationnels sont rationnels. Un nombre réel est donc soit rationnel soit irrationnel.
Comme 3 est premier, 3 diviserait p d'o`u l'existence de p ∈ N tel que p = 3p . En reportant dans l'égalité (⋆), on aurait 3p 2 = q2 donc 3 diviserait q, ce qui contredit (p, q) premiers ente eux. La contradiction assure que √ 3 est irrationnel.
Ici, le nombre donné √4 est égal à 2 ; le nombre 2 est un nombre entier et les nombres entiers sont toujours rationnels. En outre, il peut être exprimé sous forme de fraction comme 2 ⁄ 1, ce qui signifie qu'il s'agit d'un nombre rationnel. Par conséquent, √4 n'est pas un nombre irrationnel .
Le nombre -7 est un nombre entier qui peut être écrit sous la forme ab comme étant -71 . Ce nombre est donc aussi un nombre rationnel.
Preuve de l'irrationalité
L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m d'après le lemme d'Euclide. On peut écrire m = 5r, soit 5n2 = (5r)2 = 25r2, n2 = 5r2, soit 5 divise n.
Symboles. Le symbole Q′ désigne l'ensemble des nombres irrationnels et se lit « Q prime ». Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. L'union des nombres rationnels et des nombres irrationnels donne l'ensemble des nombres réels : Q U Q′ = R.
Le nombre π est irrationnel, c'est-à-dire qu'on ne peut pas l'exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n'est ni finie, ni périodique.
1. Qui est inaccessible à la raison, qui est contraire à la raison : Une décision irrationnelle.
Nombre rationnel :
2 , 5 4 \frac{2,5}{4} 42,5, 1 2 , 7 \frac{1}{2,7} 2,71 et 5 , 89 7 , 8 \frac{5,89}{7,8} 7,85,89 ne sont pas des fractions mais des écritures fractionnaires, mais elles peuvent respectivement s'écrire 4025, 2710 et 780589.
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire sous la forme du quotient de deux nombres entiers. Un nombre entier est un nombre rationnel. Il peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est égal à 1. Un nombre décimal est un nombre rationnel.
Tous les nombres entiers sont rationnels. avec des nombres rationnels produisent des nombres rationnels. son développement décimal1 est périodique2. décimal ou toute autre base.
Pour savoir si un nombre est décimal, il suffit de le mettre sous forme d'une fraction irréductible càd la plus simplifiée possible et si dans la décomposition du dénominateur tu as des 2 ou des 5 alors le nombre est décimal, si autres que 2 ou 5 alors le nbre est non décimal.
Re : Irrationnalité de racine carrée de 10
Donc 10 divise p^2. Or 10 = 2 x 5, donc 2 divise p^2 et 5 divise p^2. D'après le Lemme de Gauss : - comme 2 divise p^2 alors 2 divise p.
Puisque b2 est pair, b est pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction par 2, ce qui contredit l'hypothèse que a, b sont premiers entre eux. Puisque l'hypothèse « √2 est rationnel » conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir « √2 est irrationnel ».
On s'intéresse à deux propositions A et B et on veut démontrer que A implique B (autrement dit, si A est vraie, alors B l'est aussi). Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que A est vraie et que B est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B doit être nécessairement vraie.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
En particulier (pour k = 1/2) : pour tout x non nul tel que x2 est rationnel, cos x est non nul et x tan x est irrationnel. Puisque cos(π/2) = 0, ce dernier résultat montre que π2/4 est irrationnel et donc que π est irrationnel.
Un nombre entier peut toujours s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est 1. Tous les nombres entiers sont donc des nombres rationnels.