Imaginons que l'on note C la matrice A x B : C = A x B. Le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. On multiplie tout simplement terme à terme chaque coefficient de la ligne et de la colonne.
Définition 1 Une matrice m×n est un tableau de nombres à m lignes et n colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coefficients). Une matrice à m lignes et n colonnes est dite matrice d'ordre (m, n) ou de dimension m × n.
Si A a autant de colonnes que B de lignes et B autant de colonnes que C de lignes, alors les deux produits (AB)C et A(BC) sont bien définis et égaux. On les écrit tous les deux ABC. Et ça se prouve ! C2 = (A+B)(A+B) = A(A+B)+B(A+B) = A2 +AB +BA+B2 C2 = (A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B = A2 +BA+AB+B2.
Pour additionner deux matrices, il suffit d'additionner les éléments occupant les mêmes positions dans chaque matrice. La somme obtenue est une nouvelle matrice. Pour soustraire deux matrices, il suffit de soustraire aux éléments de la première matrice les éléments occupant la même position dans la deuxième matrice.
Il suffit de rentrer chaque matrice de façon "naturelle" élément par élément, séparé d'un espace en effectuant un saut de ligne à chaque fin de ligne de la matrice. Vous pouvez entrer des entiers relatifs et des fractions de la forme -3/4 par exemple.
Deux matrices A = ( a i k ) de type ( , ) et B = ( b k j ) de type ( , ) peuvent se multiplier. Le produit de ces deux matrices est une matrice C = ( c i j ) de type ( , ), où l'élément c i j de est obtenu en sommant les produits des éléments de la ième ligne de par les éléments de la jème colonne de .
Les matrices jouent un rôle fondamental en algèbre linéaire, où elles fournissent un outil de calcul irremplaçable.
Additionnez les trois cofacteurs.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
Aujourd'hui, les matrices sont souvent utilisées dans des domaines tels que l'administration, la psychologie, la génétique, les statistiques et l'économie. Avant d'étudier les opérations associées aux matrices, débutons par l'identification et la définition des termes associés aux matrices.
Utiliser la réduction linéaire par rangées pour trouver une matrice inverse. Accolez la matrice identité à votre matrice. Inscrivez sur votre feuille la matrice de départ M sans l'accolade de droite, tirez un trait vertical à droite de celle-ci, inscrivez la matrice identité et fermez l'accolade.
Re : ordre d'une matrice
L'ordre d'une matrice est l'autre dénomination de la taille d'une matrice. Une matrice à M lignes et N colonnes est dites d'ordre MxN mais attention, il ne faut pas effectuer la multiplication. Exemple : une matrice avec 2 lignes et 3 colonnes sera dite d'ordre 2x3.
Deux nombres sont inverses l' un de l' autre lorsque leur produit est égal à 1. Remarque : Seul 0 n' a pas d' inverse. D' après la règle des signes; deux nombres inverses sont toujours du même signe alors que deux nombres opposés et non nuls sont de signes contraires.
Le théorème du rang donne une relation entre la dimension du noyau et la dimension de l'image de f. Dans la pratique, cette formule sert à déterminer la dimension du noyau connaissant le rang, ou bien le rang connaissant la dimension du noyau. Maintenant, par le théorème du rang, dim Kerf = dimR4 − rg f = 4 − 2=2.
Il est très facile de calculer le déterminant d'une matrice 2 x 2 car il y a une formule très simple. Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c.
A × (B + C) = A × B + A × C. Pour tout couple (A, B) de matrices carrées d'ordre n et pour tout réel k, on dispose des égalités : k AB = (k A) B = A (k B).
Une matrice est un tableau de données à deux entrées (par exemple, avec m lignes et n colonnes, la matrice étant alors dite « de taille (m, n) »), auquel on peut appliquer diverses opérations. Il en existe de différents types : matrice orthogonale, matrice symétrique, matrice antisymétrique, matrice unitaire, etc.
Ce fut James Sylvester qui utilisa pour la première fois le terme « matrice » en 1850, pour désigner un tableau de nombres. En 1855, Arthur Cayley introduisit la matrice comme représentation d'une transformation linéaire.
La multiplication matricielle est associative : quelles que soient les matrices A, B et C, ( A × B ) × C = A × ( B × C ) (A×B)×C=A×(B×C) (A×B)×C=A×(B×C)
Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de sa diagonale principale sont nuls. Exemple : est une matrice diagonale. Pour trouver la puissance n-ième d'une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale, tous les autres coefficients restant nuls.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
La matrice d'un produit scalaire dans une base quelconque est toujours inversible. En effet, si AX = 0, alors `a fortiori t XAX = 0, c'est `a dire x2 = 0, et donc X = 0. ∀X,Y ∈ Mn1(R), t XAY = t XBY Alors A = B. Si A = Mate((|)), B = Mate((|)), P = Pe↦→f , alors B = t P AP .