En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité.
Définition 1 : Une matrice A ∈ Mn(R) est dîte inversibles'il existe une matrice B ∈ Mn(R) telle que : AB = In et BA = In Si B existe, elle est appelée inverse de A et notée A−1. Remarque : • La notion de matrice inversible n'a de sens que pour des matrices carrées.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Matrice singulière
En algèbre linéaire, une matrice carrée est dite singulière si elle n'est pas inversible. Par conséquent, un système d'équations représenté par une matrice singulière n'admet pas de solution unique, car on ne peut pas l'inverser. Aussi, le déterminant de la matrice est nul.
Propriété : Commutativité des matrices diagonales
Si ? et ? sont deux matrices diagonales de dimension ? × ? , alors le produit de ces deux matrices est commutatif. En d'autres termes, ? ? = ? ? .
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul.
Toute matrice carrée qui admet 0 pour valeur propre n'est pas inversible car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. La matrice A = ( 1 0 0 0 ) de M 2 ( K ) ( K = R ou K = C ) est une matrice diagonale qui admet pour valeurs propres 1 et 0 donc A n'est pas inversible bien qu'elle soit diagonalisable.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Déterminant : si n ≥ 2, det(comA) = (detA)n–1. Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, com(comA) = (detA)n–2 A. Si P(X) = det(A – X In) est le polynôme caractéristique de A et si Q est le polynôme défini par Q(X) = (P(0) – P(X))/X, alors : t(comA) = Q(A).
Méthode n°7 : Soit A une matrice carrée telle que : A = : A est inversible si et seulement si ad-bc ≠ 0. Méthode n°8 : Si A est une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls, alors A est inversible.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
On dit qu'une matrice A est singulière s'il existe x≠0, x ≠ 0 , tel que Ax=0 A x = 0 .
Soit A une matrice carrée d'ordre n. On dit que A est une matrice inversible s'il existe une matrice B carrée d'ordre n vérifiant la double égalité : A B = B A = In avec In, la matrice identité d'ordre n. B est une matrice inverse si B = A-1. La notion de matrices inverses ne concerne que les matrices carrées.
une matrice est inversible si et seulement si son determinant est non nul ! Bonjour. Si A est bijective, on a : 1=detI=det(AA−1)=det(A)det(A−1), et par conséquent, detA est non nul. La réciproque est vraie, si le déterminant de A est non nul, alors A est inversible.
- que si une matrice de taille n a n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable. - qu'une matrice diagonalisable qui a une seule valeur propre est une matrice d'homothétie. Si f était diagonalisable, sa diagonale serait donc nulle.
En algèbre linéaire, une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls d'un côté ou de l'autre de la diagonale principale. C'est en particulier le cas si la matrice est diagonale.
Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des coefficients diagonaux. Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Un endomorphisme u qui n'a qu'un nombre fini de valeurs propres (ce qui est toujours le cas en dimension finie) est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé et à racines simples.
la matrice nulle est diagonale puisque toutes les valeurs qui ne sont pas sur la diagonale sont nulles .....
Une matrice nilpotente n'est pas inversible. En effet, soit M une matrice nilpotente, d'indice p.
Construction de la base de Jordan
E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de u. Le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ est noté ici Eλ. La restriction de u à Eλ est la somme d'une homothétie de rapport λ et d'un endomorphisme nilpotent noté nλ.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Le produit de deux matrices n'est défini que si le nombre de colonnes de la deuxième matrice est égal au nombre de lignes de la première et le produit d'une matrice (n,m) par une matrice (m,p) est une matrice (n,p).