On remarque, ici encore, que la différence entre deux termes consécutifs S n + 1 − S n = 1 n + 1 tend, elle, vers 0, alors que la suite n'est pas de Cauchy.
Définitions. Dans un espace uniforme, une suite (xn) est dite de Cauchy lorsque pour tout écart continu d sur X, il existe un entier naturel N tel que pour tout p,q > N, on a : d(xp,xq) < 1.
Toute suite de Cauchy est bornée. Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence et si elle en a une, alors elle converge. Toute sous-suite d'une suite de Cauchy est, elle-même, une suite de Cauchy. Toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est convergente.
Pour une série à termes réels ou complexes, exprimer que la suite des sommes partielles satisfait à la condition de Cauchy constitue une condition nécessaire et suffisante de convergence.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Un critère de convergence normale
La série ( ∑ f n ) converge normalement sur si et seulement si : il existe une série numérique à termes positifs convergente ( ∑ a n ) ; ( ∀ n ∈ N ) ( ∀ x ∈ I ) | f n ( x ) | ≤ a n .
Une suite (un)n∈N sera dite de Cauchy si pour tout ϵ > 0 il existe N ∈ N tel que |un − um| < ϵ pour tout m, n ≥ N. Proposition 3.2. Toute suite convergente est de Cauchy. pour tout n ≥ N.
Théorème : R , C sont des espaces métriques complets. Une partie A de E est complète si l'espace métrique induit (A,d) est complet. Proposition : Si E est un espace métrique complet et A⊂E A ⊂ E , alors A est complet si et seulement si A est fermé.
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont chaque terme successif représente la somme des deux termes précédents, et qui commence par 0 puis 1. Ainsi, les dix premiers termes qui la composent sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34.
On peut se retrouver dans plusieurs cas : Si la suite a une infinité de pics, alors la suite des pics forme une sous-suite décroissante. Sinon, on peut construire une sous-suite croissante. On prend comme premier terme un terme d'indice supérieur à tous les pics, puis un terme d'indice encore supérieur, etc.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.
Pour démontrer qu'une suite (un) est divergente, on peut trouver deux suites extraites de (un) qui convergent vers des valeurs différentes; on peut la minorer par une suite tendant vers +∞ .
Re: Q n'est pas (au blé) complet
Si une suite de rationnels (un) converge vers un irrationnel r , alors c'est une suite de Cauchy. Cependant, elle n'admet pas de limite dans Q . Or, si Q était complet, toute suite de Cauchy à éléments rationnels (donc, en particulier, la suite (un) ) convergerait vers un rationnel.
En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de ℂ (en général, K = ℝ ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme.
{ u 0 = 2 et u n + 1 = u n 2 + 1 u n ∀ n ∈ N , il s'agit d'une suite de rationnels qui converge dans , donc est de Cauchy, or sa limite n'appartient pas à : la convergence d'une suite de Cauchy est liée à une propriété spécifique de .
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Avec des quantificateurs, la propriété lim un = l se traduit par ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, l − ε ≤ un ≤ l + ε. On peut aussi remplacer l − ε ≤ un ≤ l + ε par |un − l| ≤ ε.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Pour que la fonction somme d'une série de fonctions soit continue sur un intervalle I, il suffit que la série converge uniformément sur tout compact de I. xn n! est continue sur R, bien que l'on ne sache pas si elle converge uniformément sur R.
Si la suite est convergente, on dit que la série de terme général (ou série ∑ u n ) est convergente. La limite, notée , de la suite est la somme de la série ∑ u n . On écrit alors : s = ∑ 0 + ∞ u n .