Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Pour que la suite (fn) ne converge pas uniformément vers zéro sur X, il suffit qu'il existe une suite (xn) de points de X telle que la suite (fn(xn)) ne tende pas vers zéro. et cette condition est suffisante si l'espace E est complet donc, en particulier, si E = R ou C.
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Démonstration : Si la série ( ∑ f n ) est normalement convergente, il suffit de poser a n = m n pour obtenir une série numérique convenable. Réciproquement, on a, par hypothèse : la série numérique ( ∑ a n ) est convergente et ( ∀ x ∈ I ) | f n ( x ) | ≤ a n , donc m n = sup x ∈ I { | f n ( x ) | } ≤ a n .
On dit qu'une suite est divergente et tend vers +∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Proposition : Si la série ∑nun ∑ n u n converge, alors (∥un∥) tend vers 0. Dans le cas où (∥un∥) ne tend pas vers 0, la série est dite grossièrement divergente. Lien suite série : Si on pose, pour n≥0 n ≥ 0 , vn=un+1−un v n = u n + 1 − u n , alors n∑k=0vk=un+1−u0.
(Xn) converge en loi vers X si, notant Fn la fonction de répartition de Xn et F celle de X , en tout réel x où F est continue, on a : Fn(x)→F(x).
Proposition : Si la série ∑n≥0un(x) ∑ n ≥ 0 u n ( x ) converge normalement sur I , alors la suite des sommes partielles SN(x)=∑Nn=0un(x) S N ( x ) = ∑ n = 0 N u n ( x ) converge uniformément vers une fonction S sur I .
On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si : ∀ε>0, ∀x∈I, ∃n0∈N tel que ∀n≥n0, |fn(x)−f(x)|≤ε.
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
si la raison est positive (r > 0), la limite est +∞ ; si la raison est négative (r < 0), la limite est –∞ ; si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
Une suite u est dite convergente vers un point l (pas nécessairement unique) dans un espace topologique X lorsque tout voisinage de l contient tous les termes de la suite à partir d'un rang suffisamment grand ; une série est convergente lorsque la suite de ses sommes partielles l'est.
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
On a convergence presque sûre si et seulement si ∀ϵ > 0, P(limsupn→∞|Xn − X| ≥ ϵ)=0 si et seulement si ∀ϵ > 0, limn→∞Psupk≥n|Xk − X| ≥ ϵ = 0 si et seulement si (Crit`ere de Cauchy) ∀ϵ > 0, P(∪n∈N ∩m≥n {|Xn − Xm| < ϵ})=1. Exemple 4 (Barbe).
Dans ce cas, on dit que la méthode est d'ordre p. Si p = 1, il est nécessaire que C < 1 dans (1) pour que x(n) converge vers α. On dit que la convergence est linéaire si p = 1 (C < 1), quadratique si p = 2, et cubique si p = 3. La constante C est appelée facteur de convergence de la méthode.
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1. n diverge. Si la série ∑ un converge, alors le terme général un tend vers 0 quand n tend vers + & .
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
Remarque : - une suite non bornée est divergente - Si deux extraites de ( )n u converge vers deux limites distincte alors ( )n u diverge.
Si r = 0, la suite (un) est constante égale à u0 et converge donc vers u0.
Pour justifier qu'une suite (un) est géométrique, il suffit d'utiliser la définition suivante. Une suite (un) est géométrique si l'on peut écrire un+1 sous la forme : un+1 = qun. Le nombre réel q est alors la raison de la suite géométrique (un).