On dit qu'une suite (un) d'un espace métrique (X,d) est une suite de Cauchy lorsque ∀ε>0, ∃N∈N, ∀p,q≥N, d(up,uq)<ε ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , ∀ p , q ≥ N , d ( u p , u q ) < ε (si on se place dans un espace vectoriel normé (E,N) , on remplace d(up,uq) d ( u p , u q ) par N(up−uq) N ( u p − u q ) ).
Toute suite de Cauchy est bornée. Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence et si elle en a une, alors elle converge.
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
On construit une suite extraite par récurrence : Il existe n0 ∈ N tel que |un0 −L| ≥ ϵ. Ayant trouvé n0 < n1 < n2 < ··· < nk tel que |uni −L| ≥ ϵ pour tout 0 ≤ i ≤ k, il existe nk+1 > nk tel que |unk+1 −L| ≥ ϵ. Theorem 2.4. Soit M ∈ R et soit (un)n∈N une suite croissante et majorée par M.
On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire : si | u p − l | et | u n − l | sont petits il en est de même pour | u p − u n | .
On pose U n = { u p , p ≥ n } , la suite est une suite décroissante au sens de l'inclusion d'ensembles non vides : ∀ n ∈ N , U n + 1 ⊂ U n . Pour tout entier n , U n est borné et non vide; on pose a n = inf U n , b n = sup U n .
On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge.
De manière directe, si K est donné, on a W(n+1)>K, dès que racine(n)>K , soit n>K^2. On en déduit même que la suite tend vers +00, alors que par l'absurde, vous montrez seulement qu'elle n'est pas bornée.
Une suite est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée. Montrer que la suite \left(u_n\right) est bornée.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente ! Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .
C'est de la forme y′+a(x)y=0 y ′ + a ( x ) y = 0 ; la solution est y(x)=Kexp(−A(x)) y ( x ) = K exp , où A(x) est la primitive de a(x)=1/(x−1) a ( x ) = 1 / ( x − 1 ) , soit A(x)=ln|x−1| A ( x ) = ln et K une constante réelle quelconque.
▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 un ⩽ 1, alors la suite (un) est décroissante. c) Si la suite (un) est définie explicitement : un = f (n), alors il suffit d'étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle 0;+∞ .
Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0.
Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, le quotient n'est pas constant.
une suite constante est a la fois croissante et decroissante. Or toute suite croissante est minorée par son 1er terme , et toute suite decroissante et majorée par son 1er terme. d'ou Un bornée.
Suites arithmétiques et géométriques Une suite (un) est arithmétique à partir du rang n0 s'il existe un réel r tel que , pour tout entier n ≥n0 , un+1 = un + r . Une suite (un) est géométrique à partir du rang n0 s'il existe un réel q tel que , pour tout entier n ≥n0 , un+1 = q un .
Une suite croissante est minorée par son premier terme, et une suite décroissante est majorée par son premier terme (sera démontré par récurrence plus tard).
Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée. Par exemple, la suite u n = 1 n u_n= \dfrac {1}{n} un=n1 est bornée car, pour tout entier naturel non nul n, 0 < 1 n ≤ 1 0 < \dfrac {1}{n} \leq1 0<n1≤1.
Une variable aléatoire X suit la loi de Cauchy si elle est absolument continue et admet pour densité : f(x)=1π×11+x2. f ( x ) = 1 π × 1 1 + x 2 .
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : un+1 ≥ un ou: Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal à son précédent : un+1 ≤ un ou: Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.