Une suite (un) est minorée s'il existe un nombre m tel que, pour tout entier naturel n, u n ≥ m u_n \geq m un≥m. m est appelé le minorant de (un).
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L L L, alors elle est majorée par L L L. Si une suite est décroissante et converge vers L L L, alors elle est minorée par L L L.
1. Diminuer l'importance de quelque chose, lui accorder une valeur moindre : Minorer un incident diplomatique. 2. Porter quelque chose à un chiffre inférieur : Minorer les prix de 10 %.
Proposition Si M est un majorant de f et N un majorant de g, alors M + N est un majorant de f + g. Si M est un majorant de f et N un majorant de g, avec f et g positives, alors MN est un majorant de fg. . Si M est un majorant de f , alors −M est un minorant de −f .
Si une suite (un) est croissante et admet une limite "l" alors elle est majorée et "l" est un majorant. Par ailleurs son premier terme est celui qui la plus petite valeur donc cette suite est aussi minorée et le premier terme est un minorant: Une suite croissante qui converge est une suite bornée.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.
Les suites 'monotones' sont les suites croissantes ou décroissantes. Les suites 'strictement monotones' sont les suites strictement croissantes ou strictement décroissantes. Une suite est dite 'stationnaire' ou 'constante' si tous ses termes sont égaux.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
un = −∞. Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
Démonstration. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy et soit N ∈ N tel que |un − uN | < 1 pour tout n ≥ N. Ainsi, pour tout n ≥ N on a |un| < 1 + |uN |. On en déduit que la suite (un)n∈N est bornée par max{|u0|,|u1|,...,|uN−1|,|uN | + 1}.
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0.
Méthode pour étudier le sens de variation d'une suite
Calculer et étudier le signe de u n + 1 − u n pour tout : Si pour tout , u n + 1 − u n ≥ 0 alors la suite est croissante. Si pour tout , u n + 1 − u n ≤ 0 alors la suite est décroissante.
Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n. On parle aussi de suites constantes `a partir d'un certain rang.
On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u. On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
f est minorée sur I , s' il existe un réel m tel que pour tout x de I , f ( x ) ≥ m . On dit que m est un minorant de f . f est bornée sur I , si elle est minorée et majorée sur I . Tout réel M' supérieur à M est aussi un majorant de f .
b. Soit B = { x ∈ R , x = l n ( 1 + n ) , n ∈ N } ; -10, 0 sont des minorants de ; est une partie minorée de mais n'est pas majorée (il existe des éléments de arbitrairement grands). On remarque que 0 est un minorant de qui appartient à .
1. Action de minorer, évaluation de quelque chose au-dessous de sa valeur. 2. Diminution du prix d'un bien ou d'un service.
La décote est un coefficient de minoration qui s'applique au montant de la retraite de base lorsque la durée d'assurance est inférieure au nombre de trimestres requis pour obtenir une retraite à taux plein.