Plus formellement, une relation ℜ est dite antisymétrique si elle vérifie la condition suivante : (x ℜ y ∧ y ℜ x) ⇒ x = y. En d'autres termes, si, dans une relation ℜ on a à la fois le couple (x, y) et son couple réciproque (y, x), alors x et y sont un seul et même élément.
La relation "est le père de" n'est pas transitive. Une relation R est antisymétrique si pour tout x,y ∈ E vérifiant xRy et yRx alors on a x = y. ≡ sur A∗ n'est pas antisymétrique.
On dit d'une relation T qu'elle est transitive dans un ensemble E si pour tous les élément x , y , z de E tels que l'on a x T y et y T z , alors on a x T z .
Soit E un ensemble, R une relation sur E . On dit que R est une relation d'ordre si : R est réflexive : ∀x∈E, xRx ∀ x ∈ E , x R x . R est antisymétrique : pour tous x,y∈E, x , y ∈ E , si xRy x R y et yRx y R x , alors x=y .
E et F désignant deux ensembles non vides, soit f une application de E vers F. En posant x ~ y si et seulement si f(x) = f(y), on définit une relation d'équivalence dans E dite relation d'équivalence associée à f. Considérons la relation φ qui à toute classe d'équivalence c associe f(x), x∈c.
Pour montrer une équivalence en raisonnant par équivalences, il faut justifier si nécessaire les équivalences écrites à chaque étape. Si l'ombre d'un doute plane, il faut démontrer l'équivalence demandée en raisonnant par double implication. On sait que P est vraie, et on déduit que Q est vraie.
On veut construire une application f de A/R dans X. Comme pour les autres applications, si a=b alors f(a)=f(b). Comme a,b∈ A/R, a et b sont des classes d'equivalence. Si on prend un représentant dans A de a (noté x) et un représentant dans A de b (noté y), on n'a pas forcément x=y, mais on sait que R(x,y).
Dans une relation amoureuse saine, nous devrions y trouver les critères suivants : le respect de soi et de l'autre, la confiance, la sécurité́, le consentement, l'écoute, un partage égalitaire des pouvoirs, etc. Il est possible de désirer des contacts amoureux sans vouloir de relation sexuelle.
Ne « flique » pas les activités et sorties de l'autre. Fait confiance à l'autre et n'exige pas qu'il/elle rende des comptes. N'oblige pas l'autre à faire des choses qu'il/elle ne veut pas. N'accuse pas constamment l'autre de mentir ou de le/la tromper.
On peut considérer qu'une relation toxique amoureuse commence avec le manque de considération, et donc de respect, pour s'accomplir dans les violences psychologiques les plus graves. La possessivité, la domination, la manipulation sont les techniques relationnelles nocives les plus courantes.
Qu'est-ce qu'une relation toxique ? On peut considérer qu'une relation est toxique à partir du moment où elle maintient l'un et/ou l'autre des partenaires dans un état de souffrance qui ne peut trouver de résolution dans la relation elle-même, à travers l'échange et les ajustements mutuels.
Pourquoi est-il difficile de sortir d'une relation toxique ? Sortir d'une relation toxique peut s'avérer très difficile car cela nécessite un travail émotionnel important. En fait, les personnes qui vivent une relation difficile peuvent se sentir mal dans leur peau parce que la relation ne fonctionne pas bien.
Un garçon ou un homme qui est déjà en couple essaie de mettre une distance entre lui et les autres femmes. Les contacts très physiques, ils les réservent souvent à l'élue de leur cœur. Ce qui explique le fait qu'ils essaient d'esquiver vos avances ou vos simples tentatives de vous rapprocher de lui.
Amour. Confiance. Respect de l'individualité Capacité à résoudre les conflits.
Pour Elisa Erin, la relation karmique est, au fond, toujours positive, car, «le but est d'éclairer votre chemin même si la relation ou la rupture est douloureuse». Cette expérience permet de faire de nouveaux choix que ceux qui ont été faits dans les vies antérieures.
Aussi, les "types d'amour" sont : L'amitié : elle inclut l'intimité comme unique ingrédient. Si aucun autre ingrédient n'est ajouté, la relation reste au stade d'amitié. L'amour entiché : il n'y a que de la passion.
Lorsqu'une implication et sa réciproque sont vraies, les propositions sont équivalentes. Le symbole de l'équivalence est ⇔. On utilise aussi l'expression « si et seulement si ». 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1 (le symbole ⇔ est donc celui que l'on retrouve à chaque étape de transformation d'une équation ou d'une inéquation).
Pour dessiner un diagramme de Hasse : * On représente les éléments de l'ordre par des points. * Si un élément x est plus grand qu'un autre élément y selon « ≤ », on place la représentation de x plus haut que celle de y. * Le fait que deux éléments sont en relation est représenté par un segment entre ces deux points.
Le quotient est appelé ensemble des nombres rationnels et noté . Pour tout ensemble on peut considérer la relation triviale pour laquelle tout élément n'est équivalent qu'à lui-même.