La fonction cosinus est paire, ce qui signifie que pour tout x de : cos(x) = cos(–x). La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport au centre du repère O. La fonction sinus est impaire, ce qui signifie que pour tout x de : sin(x) = – sin(x).
Définitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, –x appartient à D et f (−x) = f (x). Une fonction f est impaire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, –x appartient à D et f (−x) = − f (x).
Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Une fonction f est périodique s'il existe un nombre réel positif p tel que, pour tout x et (x + p) du domaine de f, on a f(x + p) = f(x) ou f(x – p) = f(x).
Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A alors on a : Remarque : l'hypoténuse étant le plus grand côté dans un triangle rectangle, le rapport est toujours plus petit que 1. Le cosinus d'un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1.
Les courbes des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes. Elles sont périodiques de période 2π. La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction cosinus est paire, ce qui signifie que pour tout x de : cos(x) = cos(–x).
En effet, la fonction cosinus est périodique de période 2π, et on sait que sur l'intervalle [0,2π[, elle ne s'annule qu'aux points π/2 et 3π/2. Ainsi, pour tout x ∈ R, cos(x) = 0 si et seulement si x = π/2 + k×2π avec k ∈ Z OU x=3π/2 + l×2π avec l ∈ Z : on retrouve bien l'ensemble des multiples impairs de π/2.
La parité d'une fonction est une propriété donnant à la courbe de la fonction des caractéristiques de symétrie (axiale ou centrale). — Une fonction est paire si l'égalité f(x)=f(−x) f ( x ) = f ( − x ) est vérifiée pour tout x de l'ensemble de définition.
Méthode Pour étudier la parité d'une fonction g : on vérifie que son ensemble de définition est centré en 0 ; on cherche à exprimer g(-x) en fonction de g(x), pour savoir si g est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
La fonction cosinus est périodique, de période 2π.
Définition : Une fonction f définie sur R est paire si, pour tout x ∈ R, f(-x) = f(x). Exemples : La fonction cosinus est paire, la fonction f(x) = x² également. Interprétation graphique : Le graphe d'une fonction paire admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.
Une fonction 𝑓 de est paire si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Ce doit être vrai pour toutes les valeurs de 𝑥. Donc 𝑓 de moins un doit être égal à 𝑓 de un, 𝑓 de moins sept doit être égal à 𝑓 de sept, 𝑓 de moins 𝜋 doit être égal à 𝑓 de 𝜋, etc.
Solution Il faut tout d'abord déterminer la valeur de f(−x). Si f(−x)=f(x), la fonction est paire, si f(−x)=−f(x), la fonction est impaire et si on n'obtient aucune des deux égalités précédentes, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre et réciproquement. On va démontrer que le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complémentaire.
Les rapports trigonométriques nous disent que le sinus de l'angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l'hypoténuse. Le cosinus de l'angle 𝜃 est égal au côté adjacent sur l'hypoténuse. Et la tangente de l'angle 𝜃 est égal au côté opposé sur le côté adjacent. Une façon de s'en souvenir est d'utiliser l'acronyme SOHCAHTOA.
Un nombre entier exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair.
En analyse réelle, les fonctions paires sont les fonctions dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, telles les fonctions constantes, la fonction carré et plus généralement les fonctions puissance d'exposant pair, les fonctions cosinus et cosinus hyperbolique…
Les lois dites « de parité » ont été créées pour permettre l'égal accès des femmes et des hommes aux mandats électoraux et aux fonctions électives, ainsi qu'aux responsabilités professionnelles et sociales. De nombreuses lois sur la parité ont été mises en place.
Parité de la fonction valeur absolue.
Nous l'avons vu lorsque nous avons traité la valeur absolue : un réel et son opposé ont même valeur absolue. Ainsi, pour tout réel x : f(-x) = |-x| = |x| = f(x). La fonction valeur absolue est donc paire.
En définitive, on a l'équivalence : n pair ⇔ p pair. Ainsi, les deux entiers n et p sont de même parité. 3 5 152 n p + = alors ils sont de même parité.
Pour déterminer la periode d'une fonction trigonométrique, il faut déterminer le plus petit T positif tel que f(x) = f(x+T) pour tout x dans le domaine de définition de f. Pour les fonctions trigonométriques de base, la période de sin(x) et de cos(x) est 2*pi, et la période de tan(x) est pi.
Si 0 ≤ θ ≤ π, sinθ est positif. Si π/2 ≤ θ ≤ 3π/2, cosθ est négatif. Quand θ est entre π et 3π/2, le sinus et le cosinus sont tous les deux négatifs. Et quand θ est dans le quatrième quadrant (en bas à droite) le cosinus est positif, et le sinus est négatif.
La sécante de l'angle d'un triangle rectangle est l'inverse de son cosinus. Elle est égale au quotient de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté adjacent.
En particulier, cela signifie que l'abscisse 𝑥 du point d'intersection entre le côté de l'angle et le cercle trigonométrique est également positive. Le cosinus de cet angle est donc positif. De même, si l'angle se situe dans le deuxième ou troisième quadrant, son cosinus est négatif.