Définition 1 Une application N : E −→ R est une norme ssi 1. ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, N(λx) = |λ|N(x) (homogénéité) 2. ∀x, y ∈ E, N(x + y) ≤ N(x) + N(y) (inégalité triangulaire) 3. ∀x ∈ E, N(x) ≥ 0 (positivité) 4.
La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²). * Pour calculer la norme d'un vecteur du plan, laissez la case z vide. Exemples : Calculons la norme du vecteur du plan de coordonnées (5;12).
est une norme sur Rn, appelée la norme euclidienne. Ceci nécessite une démonstration, donnée plus bas. Cette norme provient du produit scalaire euclidien donné par x · y = ∑1≤i≤n xiyi : on a x2 = √ x · x. est une norme sur Rn.
On dit que deux normes N1 et N2 sont équivalentes sur un ev E s'il existe deux constantes C1,C2 > 0 telles que ∀x ∈ E, C1N1(x) ≤ N2(x) ≤ C2N1(x). Théor`eme 1 Soit E un espace vectoriel sur R ou C de dimension finie. Alors toutes les normes sur E sont équivalentes.
En particulier, si f(a)=f(b) et si un élément U∈Z vérifie a∈U alors ça veut dire que a est dans une réunion U=∪Ei d'intersections finies ∩Fi,j d'images réciproques d'éléments de T par f. Il s'ensuit qu'il existe un i tel que pour tout j a∈Fi,j, chaque Fi,j étant de la forme {x|f(x)∈Vi,j}.
En France, les normes sont élaborées et éditées par l'AFNOR qui coordonne le système de normalisation. Au niveau international, c'est l'ISO.
En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, deux normes équivalentes sont deux normes sur un même espace vectoriel E pour lesquelles les topologies induites sur E sont identiques. Cette relation d'équivalence sur l'ensemble des normes sur E traduit l'équivalence des distances associées.
En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe.
Exemples : la politesse, le tabou de l'inceste, le deuil. Les normes sociales diffèrent d'une société à l'autre (exemple : monogamie / polygamie) et évoluent dans le temps (exemple : mariage / union libre). Le respect de la norme sociale contribue à la cohésion sociale.
Dans un espace vectoriel euclidien, la norme d'un vecteur ¯v, notée ∥¯v∥, correspond à sa mesure.
Dans la mesure où le vecteur ⃑ ? pointe vers le bas, il peut être tentant de se dire que le signe de la norme est négatif. Cependant, il faut se rappeler qu'une longueur, donc la norme, ne peut pas être négative.
La norme d'un vecteur est un réel positif.
La norme : intensité de la force, elle est mesurée en newtons (N) ; Le point d'application : endroit où la force s'exerce.
Une norme est essentiellement une manière convenue de faire quelque chose. Elle peut concerner la fabrication d'un produit, le management d'un procédé, la prestation d'un service ou la fourniture de matériel.
Théorème : Norme infinie et convergence uniforme
La suite de fonctions ( ) converge uniformément sur vers si et seulement si lim n → + ∞ | | f n − f | | = 0 .
Quand même, il n'est pas difficile de prouver que si ∀x∈R, 0≤f(x)≤b, alors pour tout entier n>0, ∀x∈R, 0≤fn(x)=f(nx)≤b et si b=f(a), alors b=fn(c) pour une valeur c qui dépend de n.
On définit un produit scalaire sur E en posant f(P,Q)=∫baP(x)Q(x)w(x)dx. f ( P , Q ) = ∫ a b P ( x ) Q ( x ) w ( x ) d x . $ Cet exemple donne naissance à la riche théorie des polynômes orthogonaux.
Le module d'un vecteur est la longueur d'un segment orienté dans un espace déterminé par deux points et leur ordre. En d'autres termes, le module d'un vecteur est la longueur entre le début et la fin du vecteur, c'est-à-dire où la flèche commence et où elle se termine.
Définition 2 (Norme euclidienne) Soit (E,< ·,· >) un espace préhilbertien. On pose pour x ∈ E, x = √< x, x >. On dit que · est la norme euclidienne associée au produit scalaire < ·,· >. De plus, si y est un autre vecteur de E, on dit que x − y est la distance euclidienne entre x et y.
Caractéristiques. Une caractéristique majeure des normes est que, au contraire des propositions, elles ne sont ni vraies ni fausses puisqu'elles ne proposent pas de décrire quelque chose, mais de prescrire, de créer ou de changer certaines caractéristiques d'une chose.
Une norme dans le secteur informatique est une spécification technique émise par un organisme de normalisation et destinée à harmoniser l'activité d'un secteur (langage C, basic, HTML…).
Les normes peuvent être élaborées par des organismes nationaux, régionaux ou internationaux à activités normatives, ainsi que par des entreprises ou d'autres organismes pour leur propre usage interne.