Cas: p>0. La dérivée est strictement positive et la fonction polynomiale P est strictement croissante. Dans ce cas, le polynôme P n'admet qu'une seule racine réelle et c'est une racine simple car elle n'est pas racine de P′. Le polynôme P n'est alors pas scindé sur ℝ.
La constante C est alors le coefficient dominant de P . La propriété d'être scindé dépend du corps K . Par exemple, le polynôme X2+1 X 2 + 1 est scindé sur C , car il se factorise en (X−i)(X+i) ( X − i ) ( X + i ) , mais il n'est pas scindé sur R .
En algèbre, un polynôme est dit scindé sur un corps commutatif K s'il est décomposable en facteurs de degré 1 sur K. C'est toujours le cas si K est un corps algébriquement clos ; En algèbre homologique, une suite exacte courte dans une catégorie abélienne est dite scindée s'il existe une section du second morphisme.
– Si tous les coefficients ai sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0. – On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que ai = 0 ; on le note degP. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞. – Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ∈ K est appelé un polynôme constant.
On dit qu'un polynôme P est irréductible sur A[X], s'il est non nul, non inversible dans A[X] et que toute réduction P = QR où Q, R ∈ A[X] implique que soit Q, soit R est inversible. On notera c(P) le contenu de P, autrement dit le pgcd des coefficients de P.
Si le degré de est égal à 1, est irréductible et il y a un seul polynôme unitaire irréductible le divisant, à savoir le polynôme 1 λ P = P 1 où est le coefficient dominant de . On a donc P = λ P 1 . Soit r un entier supérieur ou égal à 2.
Définition II. 2.1. On dit qu'un polynôme f non constant `a coefficients dans un corps K est irréductible (sur K) s'il ne peut se décomposer en produit de facteurs de degré strictement inférieur `a celui de f (`a coefficients dans K).
Corollaire 1 : Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Plus précisément, pour tout x réel on a : P(x) = anxn +an−1 xn−1 +···+a1x +a0 = 0 ⇐⇒ a0 = 0, a1 = 0, . . ., an = 0.
Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, y compris le coefficient constant.
En algèbre commutative, le degré d'un polynôme (en une ou plusieurs indéterminées) est le degré le plus élevé de ses termes lorsque le polynôme est exprimé sous sa forme canonique constituée d'une somme de monômes. Le degré d'un terme est la somme des exposants des indéterminées qui y apparaissent.
Diviser, fractionner quelque chose en plusieurs morceaux ; opérer une scission. scinder (se) v.pr. Se diviser.
Couper ; diviser ; fractionner.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Un réel a est un racine de P si P(a) = 0. On dit aussi que a est solution de l'équation P(x) = 0. Si a est une racine d'un polynôme P de degré n, alors il existe un polynôme Q de degré n-1 tel que pour tout x ∈ R. P(x) = (x-a) Q(x).
Définition 5 Le polynome minimal d'une matrice A est un polynôme M de degré minimal tel que M(A) = 0 et de coefficient dominant égal à 1. Un tel polynome divise tous les polynomes tels que P(A) = 0, il divise le polynome caractéristique de A et il a les mêmes racines que le polynome caractéristique.
Cela peut être traduit explicitement de la manière suivante : , polynôme non constant, n'est pas irréductible si et seulement si il existe deux polynômes non constants et tels que P = Q R . Vocabulaire : On dit aussi qu'un polynôme non irréductible est un polynôme réductible ou factorisable.
Si a≠0 alors le monôme ax2 est présent. Si a≠0 alors nous avons une fonction polynôme de degré 2. Si a=0 et b≠0 nous avons affaire à une fonction polynôme de degré 1, que l'on appelle une fonction affine.
Pour déterminer le PGCD de deux polynômes on applique l'algorithme d'Euclide, utilisant les divisions euclidiennes successives des polynômes et les résultats suivants : dans la division euclidienne de F par G , si F = G Q + R , alors P G C D ( F , G ) = P G C D ( G , R ) = P G C D ( G , λ R ) où λ est un scalaire non ...
Calcul du discriminant : ∆ = b2 −4ac = ( √2)2 −4(1)(1) = −2. Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe de a", c'est à dire toujours positif car a = 1.
Si Δ = 0 alors l' équation admet une solution double x = −b/2a. Si Δ >0 alors l' équation admet deux solutions distinctes x' et x' telles que: x' =( −b + √Δ ) / 2a et x'' =(
Si Δ < 0 , alors l'équation f(x)=0 n'admet aucune solution réelle. f ne peut pas s'écrire sous forme factorisée. Si Δ = 0 , alors l'équation f(x)=0 admet une unique solution x0=-b2a . Si Δ > 0 , alors l'équation f(x)=0 a deux solutions x1=-b-√Δ2a et x2=-b+√Δ2a.
Définition. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun (autre que 1). Pour rendre irréductible une fraction, on simplifie le numérateur et le dénominateur par leur(s) diviseur(s) commun(s).
Pour cela, on utilise le tableau de Horner : On commence par reporter les coefficients du polynôme (1) dans la première ligne dans l'ordre des exposants décroissants. On place la racine évidente dans la case de gauche sur la deuxième ligne. On reporte le premier coefficient dans la première case de la troisième ligne.
Pour trouver sa factorisation en facteurs irréductibles, on a (au moins) trois méthodes possibles : On peut utiliser la remarque qui vient d'être faite, l'écrire sous la forme du produit de deux polynômes de degré égal à 2 avec des coefficients indéterminés, développer et identifier les coefficients.