L'ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable. Pour cela, on considère f:Z→N f : Z → N telle que f(n)=2n f ( n ) = 2 n si n≥0 n ≥ 0 et f(n)=−(2n+1) f ( n ) = − ( 2 n + 1 ) si n<0 et on vérifie que f est une bijection de Z sur N.
En effet Z, ensemble des entiers relatifs, est dénombrable ainsi que N*, ensemble des entiers strictement positifs, et donc leur produit cartésien Z × N*. Tout rationnel s'écrit d'au moins une manière sous la forme d'une fraction p/q où p ∈ Z et q ∈ N*.
Exemples. L'ensemble N des entiers est bien sûr dénombrable. L'ensemble N × N, des couples (i,j) d'entiers est également dénombrable. Pour le montrer, il faut donner une suite x0, x1, x2, ... de couples distincts qui parcourent tout l'ensemble N × N.
Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r1, r2, r3, … ).
Plus formellement, un ensemble E est dit fini s'il existe un entier naturel n et une bijection entre E et l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n. Cet entier n, qui est alors unique, est appelé le nombre d'éléments, ou cardinal, de l'ensemble fini E.
Ensemble fini
C'est une collection d'objets, de nombres, comptant une quantité limitée de ces objets. L'ensemble de chiffres est fini: il compte dix éléments: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Giuseppe Peano et Richard Dedekind ont axiomatisé l'arithmétique à la fin du XIX e siècle.
Pour éviter les paradoxes, zfc impose quelques contraintes qui sont devenues des vérités mathématiques absolues : il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles, un ensemble ne peut pas être élément de lui-même, il n'y a pas d'ensemble de tous les ordinaux, ni d'ensemble de tous les cardinaux, etc.
Adjectif. Que l'on ne peut pas dénombrer.
Les noms indénombrables représentent des choses que nous ne pouvons pas compter avec des chiffres. Ces noms désignent souvent des idées ou des qualités abstraites, ou des objets physiques qui sont trop petits ou trop fluides pour être comptés un par un (des liquides, des poudres, des gaz, etc.).
indénombrable
indénombrable adj. Que l'on ne peut pas dénombrer.
Qu'est-ce qu'un dénombrable ? C'est un nom que l'on peut “dénombrer”, c'est-à-dire que l'on peut compter. En anglais d'ailleurs, on parle de “countable”. Un “countable noun”, c'est un nom que l'on peut compter.
En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble.
c) pour exprimer une quantité, on est obligé d'utiliser un terme qui en extrait une partie, comme : some (du/ de la), a lot of (beaucoup), a piece of (un morceau / une partie), a bit of (un peu de), a great deal of (une grande quantité de)... Exemples : They've got a lot of furniture. Ils ont beaucoup de meubles.
L'une des versions du paradoxe de Russell, connue sous le nom de « Paradoxe du barbier », met en scène un village dont, chaque jour, le barbier rase uniquement ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-ci.
Le paradoxe a l'apparence d'une vérité, mais il renferme pourtant une contradiction ou un conflit. Un exemple de paradoxe bien connu est le paradoxe du menteur : "J'affirme que je mens." Cette phrase est éminemment paradoxale, puisque son sens littéral semble s'annuler de lui-même.
Être, chose ou fait qui paraissent défier la logique parce qu'ils présentent des aspects contradictoires : Cette victoire du plus faible, c'est un paradoxe. 3. En logique, synonyme de antinomie.
Construction de l'ensemble Z
des entiers naturels, muni de la loi interne addition, est un monoïde commutatif ; donc notre but est simplement de rajouter un opposé (élément symétrique pour l'addition) pour chaque entier non nul. Il ne s'agit pas de rajouter brutalement un élément, il faut aussi définir l'addition.
La construction formelle de cette ensemble est de nouveau obtenue par Dedekind (1831 − 1916) et la notation Z (du mot allemand Zahlen signifiant nombres) est popularisée par le mathématicien polycéphale Bourbaki (né en 1935).
C'est l'ensemble des nombres avec un nombre fini de décimales. L'ensemble D est une notation franco-française issue de la pédagogie des années 1970. Tous nombre pouvant s'écrire sous la forme d'un quotient. C'est encore Peano qui inventa cet ensemble, Q venant de quotiente en italien.
D'une certaine manière, mathématiquement, l'infini, c'est ça : pouvoir toujours ajouter 1 à n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, et construire ainsi des nombres de plus en plus grands. On en vient donc à la conclusion qu'il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres.
S'il existe une bijection f d'un ensemble E dans un ensemble F alors il en existe une de F dans E : la bijection réciproque de f, qui à chaque élément de F associe son antécédent par f. On peut alors dire que ces ensembles sont en bijection, ou équipotents.
Soit E un ensemble de cardinal n. Alors le nombre de parties de E est 2n : card P(E) = 2n. Soit E un ensemble de cardinal n : E = {x1, x2, …, xn} et A une partie de E.
On peut aussi employer la formule suivante : Ckn=(nk)=n!k! (n−k)! C n k = ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) !
Soient A et B deux ensembles tels que Card(A) = 4, Card(B) = 3 et Card(A ∩ B) = 1. La formule du crible implique Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)=4+3 − 1=6.