P =⇒ Q se lit « P implique Q » ou encore « si P, alors Q ». Le symbole =⇒ ne signifie pas « donc ». (Contraposée) La contraposée de P =⇒ Q est l'implication ඇඈඇ Q =⇒ ඇඈඇ P. Un raisonnement par contraposée permet de montrer une implication P =⇒ Q en mon- trant sa contraposée ඇඈඇ Q =⇒ ඇඈඇ P.
Définition : On dit que la proposition P est équivalente à la proposition Q, et on note P ⇔ Q, si P implique Q et Q implique P. Vocabulaire : pour dire que P est équivalente à Q, on dit aussi que P est vraie si et seulement si Q est vraie. On dit également que P est une condition nécessaire et suffisante de Q.
⋄ la négation de "P implique Q" est "P et (non Q)". ⋄ transitivité : si (P ⇒ Q) et (Q ⇔ R) alors (P ⇒ R).
On dit que A implique B si B est vrai d`es que A est vrai. On note A =⇒ B. Deux énoncés A et B sont équivalents si A implique B et B implique A. On note alors A ⇐⇒ B et on dit que ”A est équivalent `a B”, on encore que ”A est vrai si et seulement si B l'est”.
Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique qui peut prendre deux valeurs : vrai (V) ou faux (F). non P est fausse lorsque P est vraie. P et Q est fausse lorsque l'une au moins des deux propositions est fausse. P ou Q est fausse lorsque P et Q sont fausses.
L'implication de Q par P est la proposition (¬P) ∨ Q, notée « P ⇒ Q » ou « P implique Q » qui est fausse seulement si la proposition P est vraie et la proposition Q est fausse. L'implication est vraie dans tous les autres cas.
En logique mathématique, l'implication est l'un des connecteurs binaires du langage du calcul des propositions, généralement représenté par le symbole « ⇒ » et se lisant « … implique … », « … seulement si … » ou, de façon équivalente, « si …, alors … » comme dans la phrase « s'il pleut, alors mon gazon est arrosé ».
Soit P et Q deux propositions. (Implication) On appelle implication de Q par P, et on note P =⇒ Q, la proposition (ඇඈඇ P) ඈඎ Q. P =⇒ Q se lit « P implique Q » ou encore « si P, alors Q ». Le symbole =⇒ ne signifie pas « donc ».
La logique mathématique ou métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du XIX e siècle, qui s'est donné comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage.
Lorsqu'une implication et sa réciproque sont vraies, les propositions sont équivalentes. Le symbole de l'équivalence est ⇔. On utilise aussi l'expression « si et seulement si ». 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1 (le symbole ⇔ est donc celui que l'on retrouve à chaque étape de transformation d'une équation ou d'une inéquation).
Définition - Une tautologie (ou loi logique) est une proposition composée qui est vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions simples qui la composent.
En pratique, une table de vérité est composée d'une colonne pour chaque variable imputée (A et B par exemple, ou p et q), et d'une colonne où sont inscrits tous les résultats possibles de l'opération logique représentée par le tableau (A XOR B par exemple).
Emploi des adverbes de négation non et ne
La négation s'exprime généralement avec les mots non ou ne suivis d'un mot comme pas, jamais, rien ou personne. La particule ne s'élide en n' devant une voyelle ou un h muet. Amélie ne sera jamais une élève modèle. Elle n'aime pas ses voisins.
Catégorie grammaticale des mots et identifiant
De même, des catégories grammaticales sont identifiées en langage mathématique. Par exemple, constante, variable, indice, proposition, entre autres ; quelques-unes ont également des sous-catégories (par exemple : variable entière, réelle, etc.).
La logique formelle est l'étude purement abstraite de l'Inférence, en linguistique. La logique dite « informelle » est cette branche de logique qui étudie, examine la structure de l'argumentation dans les langues naturelles.
En logique des propositions, une contradiction ou antilogie est une formule qui est toujours fausse, quelle que soit la valeur des variables propositionnelles. On dit aussi que la formule est insatisfaisable, antilogique ou encore contradictoire.
La valeur d'une proposition formés de deux propositions P et Q et d'un connecteur est calculée à partir des valeurs de vérité attribuées à P et à Q. Ainsi la valeur de vérité attribuée à « P et Q » sera « p.q » où « . » est la multiplication. En conséquence, P et Q est vrai si et seulement si P et Q sont chacun vrais.
La logique, du grec λογική / logikê, est un terme dérivé de λόγος / lógos — signifiant à la fois « raison », « langage » et « raisonnement » — est, dans une première approche, l'étude des règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte. Le terme aurait été utilisé pour la première fois par Xénocrate.
Énoncé mathématique qui comprend une ou plusieurs variables et qui est vrai pour certaines valeurs attribuées à ces variables et faux dans les autres cas. L'ensemble de définition des variables d'une forme propositionnelle s'appelle le référentiel de cette forme propositionnelle.
En logique, la contraposition est un type de raisonnement consistant à affirmer l'implication « si non B alors non A » à partir de l'implication « si A alors B ». L'implication « si non B alors non A » est appelée contraposée de « si A alors B ».
Pour trouver un équivalent de tan, on remarque que comme cosx → 1 quand x → 0, cosx ∼ 1 et donc tan x ∼ x/1 = x. En multipliant les équivalents, on a donc montré que le dénominateur , `a savoir sin(tan2 x) ln(1 + x) est équivalent `a x3.
Ce qui est impliqué par quelque chose ; conséquence attendue : Les implications politiques d'une décision économique.
La disjonction s'écrit : P ∨ Q et se lit « P ou Q »Le symbole « ∨ » s'appelle connecteur de disjonction.
L'implication au travail est ainsi définie comme un type particulier de lien, applicable à plusieurs cibles, et reflétant le dévouement volontaire et la responsabilité pour une cible.