Une fonction numérique f dГune variable réelle définie sur un intervalle I est dite de classe 1 C si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée 'f est continue sur cet intervalle. a) Si f et g sont deux fonctions de classe 1 C sur un intervalle I alors les fonctions f g et f g sont de classe 1 C sur I .
Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn. R n . On dit que f est de classe C1 si toutes les dérivées partielles de f existent et sont continues sur U .
Soit U un ouvert de R2. Une fonction f : U → R est dite de classe C1 sur U si et seulement si elle admet des dérivées partielles en tout point de U et si les fonctions dérivées partielles Di (f ) : a ↦→ Di (f )(a) sont continues sur U.
Définition (Fonctions C1 par morceaux) – Soit f : [a, b] → C un fonction. On dit que f est C1 par morceaux si : il existe a = a0 < a1 < ··· < an = b tels que ∀i ∈ {0, ··· ,n − 1} f est C1 sur ]ai,ai+1[ et f et f poss`ede des limites finies `a gauche et `a droite en ai et ai+1.
Une fonction f est de classe C2 sur Ω si et seulement si elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 en tout point de Ω, et si ses dérivées partielles sont toutes continues sur Ω.
si la dérivée n-i`eme, notée f(n), est continue, alors on dit que f est de classe Cn. (5) Si f est de classe Cn pour tout n ∈ N, alors f est infiniment dérivable, on dit que f est de classe C∞.
a) Si f et g sont de classe C0, cela signifie qu'elles sont continues. Puisqu'un produit de fonctions continues est continue, fg est continue, c'est-`a-dire de classe C0. b) Puisque f et g sont n + 1 fois dérivables (car elles sont de classe Cn+1) et puisque n +1 ≥ 1, elles sont au moins une fois dérivables.
Une fonction f : E −→ F (de E dans F) est définie par un sous-ensemble de Gf ⊆ E × F tel que pour tout x ∈ E, il existe au plus un y ∈ F tel que (x,y) ∈ Gf , on note y=f(x). Une fonction f : E → F est une application si Dom(f ) = E.
Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle quelconque si et seulement si elle l'est sur tout segment de cet intervalle. Remarques : ⊙ cela ne change rien si l'intervalle est un segment.
1.4 DÉFINITION (FONCTION EN ESCALIER) On appelle fonction en escalier ou étagée sur [a, b] une fonction f : [a, b] → R pour laquelle il existe une subdivision 7 = {x0 < ... < xn} de [a, b] telle que, pour tout entier i ∈ {0, ..., n − 1}, la restriction de f à l'intervalle ]xi, xi+1[ soit constante.
Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans Rp . Si toutes les dérivées partielles de f existent sur U et si elles sont continues en un point a de U , alors f est différentiable en a et on a dfa(h)=n∑i=1hi∂f∂xi(a). d f a ( h ) = ∑ i = 1 n h i ∂ f ∂ x i ( a ) .
Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles et soit D un sous ensemble de R2. On dit que f est continue sur (l'ensemble) D si et seulement si elle est continue en chacun des points de D. f + g est continue en (x0, y0). fg est continue en (x0, y0).
1/ Primitive(s) : définition
soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si on définit maintenant la fonction G sur R par : G(x)=4x+3 alors G est dérivable sur R et pour tout réel : G'(x)=f(x), donc G est aussi une primitive de f sur R .
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
Résumé : en TS on montre que le fait d'être continue est une condition suffisante pour qu'une fonction admette des primitives : toute fonction continue a une primitive (par l'intégrale), et une fonction qui a une primitive en a une infinité (par addition d'une constante quelconque).
Une fonction numérique f dГune variable réelle définie sur un intervalle I est dite de classe 1 C si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée 'f est continue sur cet intervalle.
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon". Propriétés : 1) Les fonctions x ! xn (n ∈N ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur R .
Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f (a) et f (b) ont des signes opposés, alors il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f (c) = 0. Moins formel : « Une fonction continue ne peut changer de signe qu'après s'être annulée. »
La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y . Elle se note f−1 . On obtient le graphique d'une réciproque en faisant subir à notre fonction une réflexion par rapport à l'axe y=x .
Afin de déterminer le signe d'une fonction, on regarde les valeurs des ordonnées de cette fonction. On dira qu'une fonction f(x) est positive sur un intervalle donné en x si, sur cet intervalle, les valeurs de f(x) sont supérieures ou égales à 0 (positives).
Pour déterminer si cette représentation graphique correspond à une fonction, on ajoute une droite verticale sur le graphique et on vérifie le nombre de points d'intersection avec la courbe représentative. S'il y a plus d'un point d'intersection, la représentation graphique ne correspond pas à une fonction.
« C' » est un pronom démonstratif. Il s'agit du pronom « cela » qui se raccourcit devant un mot commençant par une voyelle. On peut toujours remplacer « c' » par « cela ». Il est utilisé avec le verbe « être » pour donner la forme « c'est ».
ll ne faut pas confondre la classe et la fonction d'un mot. La classe d'un mot correspond en réalité à son identité grammaticale telle qu'elle est consignée dans le dictionnaire ; la fonction d'un mot dépend du rôle qu'il joue dans une phrase.
Propriété : La fonction exponentielle de base q est définie, strictement positive, continue et dérivable sur ℝ . Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.