Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si, pour tous intervalles A et B de R P(X∈A, Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B). P ( X ∈ A , Y ∈ B ) = P ( X ∈ A ) P ( Y ∈ B ) .
Des évènements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre. La probabilité d'un évènement n'est pas affectée par la réalisation de l'autre évènement lorsque deux évènements sont indépendants l'un de l'autre.
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'apporte aucune information sur la réalisation de l'autre. Par exemple, si on lance une pièce de monnaie non truquée, la probabilité qu'elle tombe sur Face est égale à 1 / 2 1/2 1/2 .
Une variable indépendante dans un problème est le paramètre qui varie sans être influencé par les autres paramètres du problème. En général, on représente la variable indépendante par la lettre «x».
Le moyen le plus simple d'identifier dans votre expérience quelles variables sont la variable indépendante (VI) et la variable dépendante (VD) est de mettre les deux variables dans la phrase ci-dessous d'une manière qui a du sens. « La VI provoque un changement dans la VD.
La Méthode expérimentale : Définition.
Autrement dit, utiliser la méthode expérimentale va consister à créer une situation particulière qui va permettre de tester une hypothèse causale concernant la mesure d'un phénomène précis (VD) en fonction de la manipulation (la variation) d'un ou plusieurs facteurs (VI).
a) A et B sont indépendants si et seulement si . D'après une formule des probabilités: D'où: Donc il faut que P(B)=0,8, pour que A et B soient indépendants.
Événements incompatibles
Quand deux événements ne peuvent se produire tous deux pendant la même expérience , on dit qu'ils sont incompatibles ou disjoints.
Deux événements A et B sont incompatibles ssi A ⋂B=∅. Autrement dit, deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent se réaliser en même temps. Deux événements A et B sont indépendants ssi P(A ⋂B)= P(A).
La probabilité que "A ou B" se réalise s'obtient en additionnant la probabilité de A avec celle de B et en retirant la probabilité de "A et B" (qui a été compté deux fois, une fois dans les cas de A et une fois dans les cas de B) Donc : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B)
Théorème : Si A et B sont deux événements d'une expérience aléatoire, alors : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
On appelle probabilité de "A sachant B" le nombre, noté pB(A) ou p(A/B) définie par : On en déduit que : p(A∩B) = p(B) × p(A/B) ; c'est la formule qui permet de calculer p(A?B) si l'on connait p(B) et p(A/B).
Évènements qui ne possèdent pas d'éléments communs et tels que leur réunion corresponde à l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. L'expression évènements complémentaires est synonyme d'évènements contraires.
A ∪ B = "A union B" se réalise quand l'événement A OU l'événement B se réalise (ou les 2). Propriété fondamentale : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Pour le construire, on part d'une origine que l'on nomme racine de l'arbre, puis on construit les branches qui mènent aux feuilles appelées nœuds, c'est-à-dire à tous les événements possibles. Sur chacune des branches on indique la probabilité de l'événement correspondant, on appelle cela le poids de la branche.
Une issue ? Une expérience aléatoire est une expérimentation ou un phénomène conduisant à plusieurs résultats, et pour lequel on ne peut pas savoir a priori le résultat qui se produira. Ces différents résultats sont appelés issues (ou résultats, épreuves, possibilités…).
L'hypothèse d'équiprobabilité signifie que les probabilités de toutes les issues possibles sont égales. On considère un dé pipé à 6 faces de manière à ce que la face 6 ressort quatre fois plus que toutes les autres faces et les cinq autres faces sortent de manière équi- probable. On note pi la probabilité de la face i.
La probabilité d'un évènement impossible est 0. Si la probabilité fréquentielle d'un évènement d'une expérience aléatoire est proche de 0, on dit que cet évènement est presque impossible.
Cette formule s'écrit aussi : P(A∩B)=P(A)×PA(B). Cette expression s'obtient à partir de la formule initiale en multipliant chacun des membres par P(A).
L'intersection est distributive sur l'union, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). L'union est distributive sur l'intersection, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩(A ∪ C).
P(AuBuC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AnB) - P(AnC) - P(BnC) + P(AnBnC) Encore une fois, on retranche les intersections entre les deux ensembles (parties communes) car elles ont été comptées plusieurs fois, puis on ajoute l'intersection entre les trois ensembles P(AnBnC) puisqu'elle a été retranchée une fois de trop.
Les variables peuvent être classées en deux catégories principales : les catégoriques et les variables numériques. Chacune des catégories se sépare en deux sous-catégories : nominale et ordinales pour les variables catégoriques, discrètes et continues pour les variables numériques.
La relation d'emboîtement stipule qu'« un facteur est emboîté dans un second facteur (emboîtant), lorsque chaque modalité du facteur emboîté n'apparaît que dans une seule modalité du facteur emboîtant », définition qu'on retrouve dans des manuels conseillés aux étudiants (par exemple, Abdi, 1987, p.
La manipulation des variables indépendantes
La variable indépendante influençant la variable dépendante, le chercheur doit démontrer que différents niveaux de la variable dépendante se traduisent par des différences de niveaux de la variable dépendante.