Pour que l'opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu'elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l'ensemble choisis (on dit formellement que l'opération doit être définie partout).
Une loi de composition interne sur E est une application de E × E dans E. Si on la note E × E −→ E (a, b) ↦− → a ∗ b , on parle de la loi ∗ et on dit que a ∗ b est le composé de a et b pour la loi ∗.
Remarque : Traditionnellement, et sans précision ou contexte particulier, une LCI est notée * comme ci-dessus ou F ("truc"). On peut également adopter un formalisme additif (la LCI est alors notée +) ou multiplicatif (× ou .). Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne *.
si E ≠ F et G = F, la loi * : E × F → F est appelée loi de composition externe à gauche sur F ou loi de composition externe, et E est alors le domaine des opérateurs ; si E ≠ F et G = E, la loi * : E × F → E est appelée loi de composition externe à droite sur E de domaine F.
L'associativité est une propriété d'opération qui permet de modifier l'ordre des calculs en regroupant des termes entre parenthèses sans modifier le résultat de l'opération. La commutativité est la propriété d'une opération qui permet de modifier l'ordre des termes sans changer le résultat.
Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre 0 de + est absorbant pour ×. En effet, comme l'élément nul 0 est l'élément neutre de l'addition : 0 = 0 + 0. Ainsi, pour tout élément a de l'anneau A, a×0 = a×(0 + 0).
Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences. Soit Ω un ensemble muni d'une probabilité P. Une variable aléatoire X est une application définie sur Ω dans ℝ. X permet de transporter la loi P en la loi P' définie sur Ω′=X(Ω) : on a P′(xj)=P(X−1(xj))=P(X=xj).
Si une lci admet un élément neutre, celui-ci est unique. Démonstration. Supposons qu'il existe deux éléments neutres e1 et e2. On a alors e1 ∗ e2 = e1 car e2 est un élément neutre, mais aussi e1 ∗ e2 = e2 car e1 est un élement neutre, donc e1 = e2.
La Constitution de 1958 définit la loi comme le texte que vote le Parlement. Elle en délimite le domaine de compétences et la place sous le contrôle du Conseil constitutionnel.
En mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ».
a) Définition :
Soit un ensemble E muni d'une loi de composition interne additive On dit qu'un sous ensemble A de E est stable pour l'opposé si et seulement si pour tout élément x appartenant à A, -x appartient à A.
un élément régulier est un élément par lequel on peut simplifier. un espace régulier est un espace topologique possédant une forte propriété de séparation. un langage régulier est un type de langage formel et une expression régulière est un moyen de le décrire.
Il existe une autre technique, c'est de montrer qu'un sous-ensemble d'un groupe est lui-même un groupe : c'est la notion de sous-groupe. Soit (G,⋆) un groupe. Une partie H ⊂ G est un sous-groupe de G si : – e ∈ H, – pour tout x, y ∈ H, on a x⋆ y ∈ H, – pour tout x ∈ H, on a x−1 ∈ H.
Nombres : • (N, +) et (N, ·) ne sont pas des groupes car l'opposé et l'inverse d'un nombre naturel ne sont pas des nombres naturels ; • (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des groupes abéliens avec élément neutre = zéro 0 ; • si on note Z∗ = Z \ {0} (et même chose pour Q, R et C), l'ensemble (Z∗, ·) n'est pas un ...
L'ensemble des nombres entiers, muni de la multiplication (Z, ×), ne forme pas un groupe. La loi est bien interne, associative, et il existe un élément neutre (le nombre 1), mais pas d'inverse en général : par exemple, l'équation 3 · b = 1 n'admet pas de solution dans Z.
La loi de Poisson est aussi appelé la LOI des évenements rares. La loi de Poisson se définit par une formule assez compliquée. E[X] = λ σ (X) = √ λ. C'est la seule LOI connue qui ait toujours son espérance égale à sa variance.
Loi de Poisson. La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète. Elle décrit la probabilité qu'un événement se réalise durant un intervalle de temps donné, lorsque la probabilité de réalisation d'un événement est très faible et que le nombre d'essais est très grand.
Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur E et prenant les valeurs x1,x2,..., xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité P(X = xi). Exemple : Dans l'exemple traité plus haut : p1 + p2 + p3 = 1 3 + 1 2 + 1 6 = 1.
Les quatre opérations arithmétiques usuelles : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division qui sont en principe les seules opérations autorisées aux jeux de chiffres comme au Compte est bon. Les calculatrices qui ne peuvent effectuer que ces quatre opérations élémentaires et aucune autre.
Pour n'importe quel nombre x, son inverse est donc x' tel que x x x' = 1. Or, zéro n'a pas d'inverse puisque n'importe quel chiffre multiplié par zéro donne toujours zéro. Par conséquent, la division par zéro est impossible et aboutirait à des contresens mathématiques.
La propriété de distributivité permet de faciliter les calculs. Elle permet surtout d'être plus efficace en calcul mental. Une opération notée ⊗ se distribue sur une opération notée ⊕ si, quels que soient les nombres a, b et c, on a : a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c). Cette propriété s'appelle la distributivité.
( a T b ) T c = a T ( b T c ) . Autrement dit, quelle que soit la manière dont on regroupe les termes, le résultat est le même. Par exemple, l'addition et la multiplication des nombres réels sont des opérations associatives : quelque soient les réels a,b,c a , b , c , on a toujours a+(b+c)=(a+b)+c.
Propriété 1 : Les multiplications et divisions sont prioritaires sur l'addition et la soustraction, on doit donc les effectuer en premier. Propriété 2 : Si une expression ne contient que des additions et soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite.
« Terme » désigne chacun des éléments intervenant dans un rapport, une addition, une soustraction, une suite, une proportion ou une fraction. Par exemple : Admettons la suite 1, 2, 3, 4. Les 4 chiffres sont des termes. Dans le rapport 4/5, 4 et 5 sont aussi des termes.