On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x ≤ y, on a aussi f (x) ≤ f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y).
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Comment déterminer si une fonction linéaire/affine est croissante ? Une fonction linéaire de la forme f(x)=ax+b f ( x ) = a x + b est monotone et strictement croissante sur R lorsque le coefficient a est strictement positif (a>0 ). Si a est négatif alors la fonction est décroissante.
Croissance d'une fonction : Définition : Soit f : I une fonction définie sur l'intervalle I. Dire que la fonction f est croissante sur l'intervalle I signifie que si x et y sont deux réels de l'intervalle I tels que x < y alors f(x) f(y). Remarque 1 : La croissance d'une fonction est toujours rattachée à u intervalle.
Fonction mathématique f définie sur un intervalle I comme strictement croissante sur I si pour tous réels a et b appartenant à I tels que a < b, on a f(a) < f(b).
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Les fonctions constantes sont les seules fonctions simultanément croissantes et décroissantes. Toute fonction affine est monotone (strictement croissante si le taux d'accroissement est strictement positif, strictement décroissante si le taux d'accroissement est négatif).
La courbe en cloche ou courbe de Gauss est l'une des courbes mathématiques les plus célèbres. On la voit apparaître dans un grand nombre de situations concrètes — en statistiques et en probabilités — et on lui fait souvent dire tout et n'importe quoi.
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon".
Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, on a les théorèmes suivants : si f ' est positive sur I la fonction est croissante sur I. si f ' est négative sur I la fonction est décroissante sur I.
Etudier le signe de f'(x) sur l'intervalle I
A l'inverse, si f'(x) est inférieure ou égale à 0, alors f est décroissante sur I. Pour connaître le signe de f', il suffit simplement de déterminer les valeurs de x pour lesquelles f'(x) s'annule, or on sait construire le tableau de signe d'une fonction de type ax + b.
Lorsque le sens de variations d'une fonction est donné par une phrase ou un tableau de variation, comparer les images de 2 nombres d'un intervalle. l'ordre des images, une fonction décroissante renverse l'ordre. Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors f(a) = f(b).
Fonction mathématique, f définie sur un intervalle I est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b appartenant à I tels que a < b, on a f(a) > f(b).
Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante.
On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u. On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
Si une suite est croissante et converge vers L L L, alors elle est majorée par L L L. Si une suite est décroissante et converge vers L L L, alors elle est minorée par L L L.
Soit f:I→R f : I → R une fonction et a∈I a ∈ I . On dit que f est continue en a si f admet pour limite f(a) en a : ∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈I, |x−a|<η⟹|f(x)−f(a)|<ε.
Si la fonction f est continue sur I et si fs est continue en a alors f est dérivable en a. Pour une fonction continue sur I, l'existence d'une dérivée symétrique positive suffit pour affirmer que f est croissante et l'existence d'une dérivée symétrique constamment nulle suffit pour prouver que f est constante.
La tendance générale : Pour cela, reliez virtuellement ( ou à l'aide de pointillés discrets) les 2 extrémités de la courbe. Si votre regard monte, elle est CROISSANTE. A l'inverse, si votre regard descend, elle est DECROISSANTE. Enfin, si les deux extrémités sont identiques, elle est STABLE.
Formellement, l'évolution peut être définie comme le changement des fréquences de versions de gènes (allèles) dans une population. Cette dernière se définit comme un ensemble d'organismes de la même espèce se reproduisant entre eux et vivant dans un lieu donné, à un moment donné.
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.
Idée : si f n'est pas monotone, il existe (a\) et b avec a<b et f(a)=f(b). Alors, quitte à changer f en −f, f admet un maximum atteint en un point c de ]a,b[, avec f(c)>f(a). Comme f(I) est ouvert, il existe d tel que f(d)>f(c), donc d est hors de [a,b].
L'image de 0 par la fonction f est 0.