Définition : une égalité est une expression comportant le signe = et deux membres de part et d'autre. Exemple : premier membre : 2 + 3 × 5 + 17 ; second membre : 2 + 15 + 17.
Pour tester une égalité, on remplace chaque lettre identique par une même valeur, et on dit si l'égalité est vraie ou fausse pour cette valeur. Dans tout ce cours, on considère l'égalité 3 − 1 = 2 + 5, qui est vraie pour certaines valeurs de , et fausse pour d'autres. On va tester cette égalité pour = 4 et = 6.
Règles pour résoudre une équation
Pour résoudre une équation, il faut isoler x en transformant l'équation proposée en équations successives ayant les mêmes solutions grâce aux propriétés du maintien de l'égalité lorsqu'on effectue la même opération sur les deux membres.
2 Multiplier par un réel positif α : si x ⩽ y et α ⩾ 0, alors αx ⩽ αy. 2 Ajouter des inégalités : si x ⩽ y et a ⩽ b, alors x + a ⩽ y + b. 2 Multiplier des inégalités de nombres positifs : si 0 ⩽ x ⩽ y et 0 ⩽ a ⩽ b, alors xa ⩽ yb. sur R, x ↦→ √ x sur R+.
Deux expressions littérales sont égales si elles sont toujours égales, c'est-à-dire si elles sont égales quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres. On veut tester l'égalité 2 + 4x + 3 = 1,5 × x × 2 + x + 5.
Il est inutile de trop rédiger, il faut aller à l'essentiel. c) Justifier toute affirmation : Une bonne démonstration mathématique implique de justifier tout ce qu'on avance, soit en utilisant son cours de maths, soit en utilisant les données de l'énoncé. Toute réponse non justifiée vous fera perdre des points.
Mettre un problème en équation, c'est-à-dire traduire son énoncé par une égalité mathématique avec une inconnue, peut permettre de résoudre ce problème plus facilement. C'est ce que l'on appelle « modéliser une situation ». Il s'agira ensuite de résoudre l'équation obtenue pour répondre au problème posé.
Encadrer un nombre, c'est trouver une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre. Exemple 1 : Un encadrement de 14,254 par deux entiers est : 4 < 14,254 < 17. On dit que 14,254 est encadré par 4 et 17. Il existe une infinité d'encadrements de 14,254 par deux entiers.
Considérons une propriété P(n) dépendant d'un entier n ≥ 0. Le principe de récurrence faible stipule que si: [initialisation] P(0) est vraie; [hérédité] pour tout entier k > 0, si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie.
Lorsqu'on veut encadrer une fonction qui ne dépend que d'une variable (x dans notre cas), on peut toujours faire une étude de fonction sur l'intervalle considéré dans l'énoncé, dresser le tableau de variations et observer le minimum et le maximum.
La notion d'égalité
L'égalité est un principe à valeur constitutionnelle. L'article 6 de la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen dispose que "la loi doit être la même pour tous". Les personnes dans la même situation doivent être traitées de manière identique.
En mathématiques, une égalité est un ensemble de deux expressions (ou plus), reliées par le symbole = (égal), qui est vraie si et seulement si le résultat de chaque coté du signe égal est identique.
Une équation est une égalité où les valeurs d'un ou de plusieurs nombres sont inconnues. Ces valeurs inconnues sont remplacées par des lettres. Par exemple, x + 2 = 6 x + 2 = 6 x+2=6x, plus, 2, equals, 6 est une équation. L'inconnue est x.
On peut distinguer 3 identités remarquables : La première égalité remarquable : (a+b)² = a² + 2ab + b² ; La deuxième égalité remarquable : (a-b)² = a² – 2ab + b² ; (a+b)²; La troisième égalité remarquable : (a+b) (a-b) = a² – b².
Il est possible de vérifier qu'une valeur n'est ni nulle ni une chaîne vide grâce à l'opérateur de comparaison stricte mais aussi avec un test plus rapide. Les opérateurs "===" et "! ==" sont utilisés dans la plupart des langages de développement pour effectuer une comparaison stricte entre deux éléments.
Pour a et b deux nombres entiers (avec b différent de 0), effectuer la division euclidienne de a par b revient à trouver deux nombres entiers q et r qui vérifient l'égalité a = b × q + r a = b \times q + r a=b×q+r et que r < b r < b r<b.
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.
3.1/ Rédaction du raisonnement par récurrence appliqué aux suites. Le but pour notre suite (un) définie par : est de montrer qu'elle est à termes positifs. La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation. up > 0 Donc : 5up + 4 > 0 D'où up+1 > 0 et il y a donc hérédité.
Afin d'encadrer une différence a - b, on encadre en fait a + (-b) : on ne "soustrait" pas des encadrements : ! si 3 < a < 5 et -2 < b < 3, il est FAUX d'écrire "par soustraction" : 5 < a - b < 2 !!! !
Re : L'inverse de x²
Maintenant c'est clair la réponse était bien évidemment 3x-² ^^.
Afin de traduire un énoncé en équation, il faut suivre les étapes suivantes : Lire attentivement le problème écrit et identifier les données connues et les variables. Identifier la relation entre les variables. Traduire cette relation par une équation ou par une expression algébrique.
En mathématiques et en logique, un théorème (du grec théorêma, objet digne d'étude) est une assertion qui est démontrée, c'est-à-dire établie comme vraie à partir d'autres assertions déjà démontrées (théorèmes ou autres formes d'assertions) ou des assertions acceptées comme vraies, appelées axiomes.